PlANCHE II.Figure io.

Démonstra-tion de la mé-thode dont ons’est servi pourdéterminer laportion éclai-rée.

122 INSTITUTIONS

projection du demi-cercle OMP représentée par une li-gne droite à laquelle soit élevé un autre diamètre per-pendiculaire BC : il faut prendre maintenant la ligne LF,(en supposant LP pour rayon) égale au cosinus de l’é-longation de la Lune au Soleil ; & les deux demi-axesLB j LF étant donnés, on décrira fellipse BFC 3 qui sé-parera sur le disque de la Lune qui est tourné vers nous ,îa partie éclairée BFCPB de celle qui est dans sombre.

Car puisque dans la supposition que le rayon est LP , laligne LFreprésente le cosinus de l’élomgation de la Luneau Soleil, PFsera donc le sinus verse qui répond à cettemême élongation, & partant la demi - ellipse BFC, quisépare la partie éclairée de la Lune de celle qui est danssombre est ainsi déterminée, puisque, son grand axe étantégal au diamètre de la Lune qui est constant, la moitié desautre axe est égale au demi-diametre de la Lune moinsle sinus verse de sélongation de la Lune au Soleil. Soit,par exemple , OBPC le disque de la Lune tourné versnous, & BFCla. demi-ellipse qui sépare la partie du dis-que éclairée de celle qui ne sest pas : si l'on tire une droi-te quelconque GHN parallèle au petit axe ôt qui ren-contre le grand axe en M , alors selon cette propriété gé-nérale pour fellipse & pour le cercle, les deux rapportsd qLP à LF &. de MG à Mtì, seront égaux entr’eux,ou ce qui est la même chose ( en divisant) LP sera à P Fcomme GM à GH. De même si son prend le double desantécédens, PO fera à PFcomme GNzGH. Or commec’est la même propriété pour toute autre ligne GN paral-lèle au petit axe ; il fuit selon la douzième propositiondu cinquième Livre d’Euclide, que PO doit être à PFcomme toutes les lignes GN à tous les sinus verses GH;c’est-à-dire, ( puisque toutes les lignes GN forment le dis-que entier de la Lune, & que tous les sinus verses GHcomposent la partie éclairée de la Lune qui nous est visi-