mathématique.

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général que pour les équations des tpiatrc pre-miers degrés.

Théorie générale, des équations. — Dans l'im-possibilité de Irouver d’une manière généraleles expressions des racines des équations detous les degrés en fonction des coefficients,les géomètres ont dfl y suppléer par l’élude despropriétés générales des équations. Les Ira- !vaux faits dans celle direction comprennent desrecherches admirables qu’il n’est certes paspossible d’exposer ici ; néanmoins nous indi-querons quelques-uns des résultats les plus re-marquables, ne pouvant passer sous silence lestravaux qui comprennent le point le plus élevépeut être auquel l’esprit humain ait porté la dé-duction.

On démontre d’abord, ce que nous avons déjhvérifié pour l’équalion du deuxième degré, que:

Le premier terme d’une équation ayant uncoefficient égal à l’unité, ou tous les termes étantdivisés par le coefficient qui pouvait l'affecter,ce qui est toujours possible,

1° Une équation qui a pour racine une valeurde x égale à a est divisible par x — a ;

2° Le coefficient du second terme est égal à lasomme des valeurs des racines;

3° Le coefficient du troisième terme est égal illa somme des produits (dilférenls) deux à deuxdes racines;

Le coefficient du quatrième terme est égal îila somme des produits (différents) trois a troisdes racines et ainsi de suite.

On démontre encore qu’une équation a autant jde racines réelles ou imaginaires qu’il y a d’u-nités dans la pnissancc la plus élevée de l’in-connue qui entre dans l’équation.

La théorie générale des équations repose sur-tout sur l’emploi des dérivées et sur la formulede Taylor qui indique les relations de celles-ciavec l’équalion fondamentale f(x) = 0.

Pour indiquer comment on arrive h celte for-mule fondamentale il faut remplacer dans l’équa-tion x par x-\-h, h étant un accroissement de lavariable. Tous les termes viendront se développersuivant la loi que nous avons indiquée sous lenom de binôme de Newton, et si nous appelonsf'(x) la dérivée f[x) d’une fonction, f"(x) ladérivée de f'{x) ou la seconde dérivée de f(x),on trouve, en effectuant les opérations, la célè-bre formule de Taylor qui s’écrit ainsi :

/V-KO = fW+ \ /"(*)+ ** 2 f" W + -

Lorsque l’accroissement h de la variable esttrès petit, le rapport de l’accroissement de la

fonction à celui de la variable ou — £Çf)

h

tend à devenir égal à f ( x ), à la dérivée, seulterme qui ne renferme pas h supposé très petit.Elle représente la limite de ce rapport.

Celle interprétation de la dérivée fait pressen-tir le parti qu’on en lire pour la théorie des équa-tions lorsqu’on étudie les variations de valeur dela fonction, an liéu de considérersenlemcnt cellesqui la rendent égale à zéro, c’esl-a-dire, en réalilé, si on y introduit l'élude de la continuité dela fonction lorsqu’on fait croître d’une manièrecontinue la valeur de la variable. Nous verronsbientôt, en traitant du calcul infinitésimal, com-bien celte méthode est féconde.

Nous verrons aussi bientôt, en exposant lagéométrie de Descartes , comment les équationsà deux variables facilitent l’étude et la décou-verte des propriétés des courbes, précisémenten permettant de les considérer comme engen-drées par l’accroissement continu de la variable;inversement on peut se servir soit du théorèmede Taylor, soit de la propriété équivalente descourbes de permettre de suivre la loi de conti-nuité de la variation des valeurs d’une équationà une seule inconnue pour établir quelques théo-rèmes de la théorie générale des équations.

Si, au lieu de considérer seulement les racines,c’est-ïi-dire les valeurs de la variable qui rendentl’équalion égale îi zéro, on considère toutes lesvaleurs que celle-ci peut prendre, qu’on la regardecomme une autre variable y , on aura l'équation

y = x m -\-px ,nr ~ t -\-qx™~ -)-u

qui représentera une courbe du degré m, et lespoints de rencontre de celle courbe avec l’axe desx fourniront les racines réelles, positives ou né-gatives de l’équation.

Celle courbe du premier degré en y aura deuxbranches infinies. En effet, on peut toujours sup-poser h x une valeur assez grande pour qu’on ait

x m ^>px m ~‘ -f- qx m ~ 2 ... vou en divisant par i w les deux termes

puisque, hors le premier terme du second mem-bre dont la valeur est finie, tous les autres dé-croissent à mesure que x augmente.

On tire facilement de l’inspection des formesgénérales de ces courbes ainsi étudiées un cer-tain nombre de théorèmes principaux que nousnous contenterons d’énoncer ici.

Ils rôsultenlen général des rapporlsdescourbesavec l’axe de x, puisque les points de rencontrefournissent précisément des valeurs des racines.

1° Dans toute équation de degré impair, il y atoujours au moins une racine réelle.

2 Ü Lorsque deux nombres substitués succes-sivement dans le premier membre d’une équa-tion donnent deux résultats de signes contraires,ces deux nombres comprennent au moins uneracine réelle.

3° Toute équation de degré pair dont le der-