XVI
INTRODUCTION’.
nier terme est négatif a ail moins deux racinesréelles, l’une positive et l’autre négative.
4° Entre deux racines réelles et inégales d’uneéquation, il se trouve au moins une racine réellede sa dérivée.
Il nous resterait il montrer le parti que M.Slurni a tiré de la considération des dérivées etde la division successive de l’équation par ladérivée et decelle ci par le reste obtenu. Ne pou-vant entrer dans ces détails nous dirons seule-ment que le théorème qui porte son nom permet,pour la détermination du nombre de racinesd’une équation, de fournir des résultats plusprécis, mais de meme ordre, que ceux quefournit la règle des signes de Uescarles, remar-quable théorème qui s’énonce ainsi.
Une équation ne peut avoir plus de racinespositives qu’elle n’a de variations (différence designes de deux termes consécutifs), ni plus deracines négatives qu'il ne se trouve de variationsdans l’équation obtenue en changeant a;en — x-,et si toutes ses racines sont réelles, elle a préci-sément autant de racines positives que de varia-tions et autant de racines négatives qu’il y a devariations dans sa transformée en — x.
Ce Ihéorème est fondé sur ce que dans le pro-duit d’un polynôme par un facteur x — a, danslequel a est positif, le produit a toujours au moinsune variation de plus que le multiplicande.
De l’élimination. — Dans tout ce qui précède,sauf le cas des équations du premier degré, nousne nous sommes occupés que des équations àune seule inconnue.
examinons maintenant le cas de deux équa-tions d’un degré quelconque il deux inconnues.
S’il était toujours possible de résoudre une deséquations par rapport a l’une des inconnuesqu’elles renferme, en substituant la valeur ainsitrouvée dans l’autre équation, on obtiendrait uneéquation qui ne contiendrait plus qu’une incon-nue qui servirait h en déterminer les valeurs.Mais la résolution d’une équation par rapportal’une des inconnues est le plus souvent impos-sible. Il est en effet démontré, depuis les bellesrecherches d’Abel, qu’à partir du cinquièmedegré les racines des équations ne peuvent plusêtre exprimées par une fonction algébrique descoefficients (I), et jusqu’à ce jour rien n’indiquequ’aucune fonction transcendante ait été trouvéequi put fournir une solution de ce problème.
On a alors cherché une méthode à l’aide delaquelle on put, sans avoir besoin de résoudreaucune équation, effectuer l’élimination de l’unedes inconnues entre les deux équations proposéeset obtenir ainsi une équation à une seule incon-nue dont les racines fussent toutes les valeurs, etles seules valeurs de celte inconnue. Tel est lebut de la méthode dite d’Éliminalion.
| Cette méthode est fondée sur la recherche duplusgrand commun diviseurentre les deux équa-tions. Elle est trop spéciale pour que nous puis-sions l’exposer ici avec détail; nous voulionsseulement indiquer comment on surmontait unedifficulté capitale.
Résolution des équations numériques. — L’im-possibilité de trouver sous forme algébrique lavaleur des racines des équations en fonctiondes coefficients pour des degrés supérieurs auquatrième, a fait reporter les recherches surles méthodes les plus expéditives pour trouverles valeurs numériques des équations dont lescoefficients sont de valeur connue. Celle solu-tion, dont il faut bien se contenter, est malheu-reusement fort insuffisante; car c’est souventmoins la valeur numérique d’une inconnue qu’ilimporte de connaître que la formule, la manièredont elle se déduit de quantités connues. Toute-fois, il est juste d’observer quand les loissont représentées par des équations d’un ordreélevé, on peut dire que leur compréhensionéchappe presque aux forces de l’esprit humain;aussi la solution des équations des premiersdegrés comprend-elle la très majeure partie deslois de la nature que nous avons pu soumettreau calcul.
La méthode employée est essentiellement uneméthode de tâtonnements que l’on abrège toute-fois considérablement par la détermination deslimites entre lesquelles peuvent être comprisesles racines; elle est l’équivalent de la méthodegéométrique que nous avons indiquée, c’est- à- direde celle qui consiste à déterminer assez de va-leurs de la fonction pour en saisir les variations,et approcher de plus en plus de la valeur de lavariable qui la rend égale à zéro.
Des équations exponentielles, des logarithmes.— Dans ce qui précède, nous avons supposé quel’inconnue x était élevée à certaine puissance,mais jamais qu’elle était l’exposant de la puis-sance d’une quantité connue. La considérationde termes semblables conduit aux logarithmes.Le logarithme d’un nombre est l’exposant de lapuissance à laquelle il faut élever un nombreinvariable, positif et autre que l’unité pour re-produire le premier. On appelle système de loga-rithmes la série des logarithmes de tous lesnombres possibles pour une valeur particulièrede ce nombre invariable que l’on nomme labase de ce système. Pour les tables habituelle-ment employées, la base est 10.
Ainsi x étant le logarithme d’un nombre quel-conque b, dans un système dont la base esta, a x =zb. Pour 6 = o, a:ou log.<i=l, c’est-à-direque le logarithme de la base est égal à l’unité.
Les propriétés des logarithmes résultent claire-ment de leur définition.
Soient 6, b’, b"... des nombres quelconques,