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la troisième pour le même angle droit,afio de démontrer tons les cas ,1c cettepréposition importante.

r". Que , comme cette proposition sedémontre par la comparaison des rec-tangles & des (jnarrés, je me fers dessignes algébriques. Dans ces cas, le rai-sonnement des anciens 11e différé dn cal-cul des modernes, qn’en ce que le se-cond s’exprime d une maniéré beaucoupplus courte que le premier. Les princi-pales opérations de l'algebre font dé-montrées dans le second livre d’£»c/íisf ,•& tout ce qu'on prouve par ce secondlivre , est prouvé algébriquement, auííì-bien quand on se sert des mots que quandon se sert de signes.

Démonstration. On fait quejTd—ITb ''-f 2 A B X B D + 1 ÍD —

+ parce que

l’on a fait B D égaie à B C. On fait auíìì

quelTtf + Yc=.'T±_ JÌÎXB6 ,vil il faut prendre le signe -j- pour la fig.I, dans laquelle sangle A B C est aigu ;& le signe— pour la fig. 2, dans la-quelle Iangle ABC est obtus ; donc

ÂH—CA + 2 A B s D B +_BE ),

dti bien, DA — A i=2ABXEDmais a ABxFD : 2 ABXEC=DE: EC,& 2. ABxEC est éga! à qnatré fois la sur-face du triangle AB C'\ donc i’excès duquarté de la somme des deux cotés d’untriangle fur le quarté du troisième coté

i~DA— 7 c~(AB+BCy— Áúûest à la surface du triangle ABC, com-me D E à la quatrième partie de E C.

Cette raison est donnée lorsque sangleABC est donné ; parce que, dans ce càs ,sangle A D C, qui en est la moitié , estausti donné a c’est pourquoi le trianglerectangle CED est donné d’espece , & laraison de DE á EC est-donnee. C.Q.F.D.

J’ajoute qu’áiiffi s excès du quarré de iab'ase sur le quarré dé lit différence des cotésqui forment l'angle donné, est un triangletn raison donnée.

Prenez la partie B Ft gale rr cot é BC,& joignez la C F} donc A F est la diffé-rence des cotét A B , B C.

d’abord A E + s A B X B F d B +We=^AB + BC= CA+ î ABXBEj

donc CA l -~ A F— 2 AB (FE -f B E)—- 2 A BX E F ; mais 2 A BX E F t2 A B X E C=zz FE: EC,& sanglaB F C, moitié de l’augle donné CBD , estdonné; donc le triangle FE C, rectangle,en E, est donné d’espcce ; & la raison deFEà ECest donnée , auíîì-bien que Cillede FE au quarré de ECi& la derniere estla même que celle de l’excès du quarréde la base du triangle sur le quarré de ladifférence des deux cotés qui forment

l’angle donné de C À* ( A B — B C)' àla surface du triangle ; donc cette raisonest donnée.

Lette démonstration s’applique fanspeine à îa fig. 3.

En termes trigonométriqués, la pre-mière raison est celle de la cotangente dela moitié de sangle donné au quart durayon ; & la seconde est celle de la tan-gente de la moitié de l’angle donné a 11quart du rayon. Parce que st C 2 ? repré-sente le rayon , E D r- présente la cotan-gente de sangle C D E, moitié de san-gle donné C B A ; mais FE représente lacotangente de l’angle E F C, moitié deCBD, supplément l’angle donné.

Observez que l’angle D CF est droit ,puisque les angles CDF, DFC ensem-ble font un droit, étant la moitié desangles ABC, CBD, qui ensemble va’entdeux droits. Ou bien, parce que le deini-cercle décrit du centre B & dc l’ínter-vallefiD, passe par les points C&F,puisque les droites BD, BC, BFÍ ont éga-les ; donc DE: E C =a= CE: E F.

Nous avons vu que le premier excèsest au quadruple de la surface du trian-gle, comme D E à E C , que le secondexcès est au quadruple de !a même fur.face, com tm FE k EC‘, Bcqn» DE est àisCco rme CE kEE. II en résulte quele quadruple de la surface d’un triangleest moyen proportionnel entre sexess duquarré de la somme de deux cotés fur lequarré du troisième coté, & l’excès duquarré du tioilìeme coté fur le quarré dela differ-nce des deux autres cotés. Nousmontrerons dans U fuite que ce corollai-re renferme une proposition trìgonomé-tríque importante, que ies modernes dé-montrent d'unt maniéré fort embarras-sée.

De cette proposition résulte aussi que,S ia raison de l’excès du quarté ds ìa