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conséquent on connnîtra nnn valeur ap-prochée cie deux racines imaginaires a-\-bV—i,«—iV—i.Mais fi l’équaíion cn ft alieu en même temps que A~-^o & B— o.on prendra lccommun diviseur décès troiséquations, ensuite on divisera, par Ce com-mun diviseur l’équation en b, & chaque jracine réel't e de l’éqnation ainsi diviséedonnera une valeur de b; ensuite prenantle diviseur commun & une équation d usecond degré trouvée cn éliminant « &de la forme Mer- f Ps a 4- Pç=o, 011observera fi le commun diviseur , M, N& P, pr u vent être en même temps égauxàzcto. Si cela ne peut arriver, on pren-dra les racines de ce commun divitenràchacune defquelles répondent les deuxracines de l’éqiiation en A ; si M, -A T , P,peuvent devenir nuls en thème tempsque le commun diviseur , 011 prendrade nouveau le commun diviseur d'- cesquatre fonctions, & une équation dutroisième degré trouvée en éliminant «,

& qui fera de la forme M' a* + 2 V* cr +P a + = o, & on opérera comme ci-

deffiis , & ainsi de fuite.

Tomes les fois que dans la recherchedes racines approchées . on aura substituédans chaque approximation la férie 0,1,s, 3 .... à la place de la racine, on ferafur de ti Qnv.r la valeur exacte lorsqti’cllesera rationnelle: en effet, cette valeurexacte est nécessairement entre p, premiè-re valeur trouvée , & p. -j- 1, entre p-f- —

. ?

&P.+ - 1 -, o étant un entier, entre p -j-

-vl *

1 j_

~q 1 & p -f• q 1, & ainsi de suite. Or |r HT

soit fí-la quantité plus petite que là ajou-«

ter àp pour avoiria vraie valeur, q fera égalau quotient de n par ?«, plus un reste ,

— , n < ' m ; de même, r fera égal aum

quotient de m par n', un reste-fur* j étantn'

plus petit que. n'b donc , en suivant tou-jours , oij parviendra â un reste nui, ou

égal à —-, & par conséquent, à la va-ir

leur exacte. Voyez Fractions; conti-nues.

A P P

La méthode dont je viens de rendrecompte,est générale pour toutes les équa-tions numérales, & elle donne pour tousles cas, d'une maniéré certaine , une va-leur atiíîì approchée qii’on veut de cha-cune des racines. Elle a de plus l’avanta-ge essentiel, qu’il est inutile de connottred’ailleurs la valeur approchée des raci-nes , comme cela étoit nécessaire dans 1$méthode de Newton.

Méthode' d'avoir les valeurs approchéesdes racines d'une équation algébrique déter-minée,

II famlroit, pour que cette méthodefût générale,pouvoir trouver autant d'ex-prefiions de l’ìnconnue en féries conver-gentes que la proposée a de racines réel-les. ‘

Commençons par chercher un moyengénéral de réduire la valeur de te en fé-rie: pour cela je remarque que, quelleque soit une fonction dex qui soit égale, je puis supposer que j'aie i’e'qnationy—x — ch x=o, on*=y+$ x ; donc stje cherche à avoir, eny-j-’hx, la valeurd’une fonction de x , j’aurai , par le théo-rème de M. d’Alembert démontré à l’ar-tiçle Seeie des fuppléniens,

fr=f) -(- d JA$,r+ch ..dy zif-

& par conséquent,

ch x=rchy 0 x 1 .....

dy zdy 3

faisant donc ® x c= 0 y + 2? , dans laseconde formule, & ordonnant par rap-port aux puissances de Q y , il est aisé devoir que B doit être une série, dont lepremier terme sera dn second degré, éga-lant à zéro le terme qui, après la substi-tution, est de c.e degré , & prenant la va-leur qu’il donne pour B , j’aurai pelle dupremier terme de la vraie valeur de B ,

elle est'—Jt 0 y, je ferai ensuite B —-

d0y

dy T J ’ '' dy

0y-h C. ou Cest uoesçrio , dont lepremier terme est du troisième degré j ccontinuant ainsi , je trouverai

L #.r d'0 s- &c-

&

0x==0y +

zdy

{d y*