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par la mcme méthode,

4> x 1 _£ 2 !+ 1 ll 3 d'dày 4 ^

2. 2. 2. 3 d y 2.3.4. rfy:,

î 1' ív 1 2 d <í> r* . 1. 3 d'~ 4 > ys „

•-- = — 4 - -7—+— -— ,&c.

3-3 2. 3^3. 41s y 2 . 3 * 4 -S í (y 2

substituant ces valeurs dans l'expreffiçmde x, l’ordonnant par rapport aux puis-sances dc Vy & <b .y, & réduisant chaquerang de termes , j’aurai íiuaiemeiit

--ì-y _[_ AQy '- d-i-y

d y

£±y’jLïjj

2. 3 It y 1

2 dyLc.

+

... - férie dont la loi est trcs - Facile àsaisir.

It est aisé de voir que si $ x enntenoitencore y, on aura également la valeuráetreny, quand même î.v conticn-droit aussi y, en observant alors, dansla maniéré

de prendre les différences, que-. 5 ’- -mi££ ) '

d t d y'

sontalorségauxà cequedevieut c ^' —*

d x tl x

Si après la différentiation, on met y pour*,ou, ce qui revient au máme, différen-cier en regardant comme constantes les yqui se trouvent dans "f 1 x & d’ .r. O11 voitdelà comment, s> l’onaí»';c , y = ~o, onaura ( par une férie ) x en y , & de mêmeen une Fonction quelconque de .v &-y. Sil'on veut appliquer cette maniéré d’avoiren y la valeur de x , lorfqu’on a par équa-tion en u 8 c en y la solution des équa-tions déterminées, on observera: i°. quefi on l’appliqne immédiatement, on n'au-ra que des expressions réelles & ration-nelles pour ta valeur de x : 2'’. que pou-vant prendre pour y telle quantité qn'onvoudra , on aura une infinité dc valeursde x : q 0 , que parmi toutes ces valeurs,il n'y en aura de réellement différentes,qu’autant que la proposée peut avoir deracines: 4°. qu’i! y enaiuaun nombrede convergentes différentes entr’elles ,égal au.nombre des racines réelles:que lì on prend un nombre m moindreque n degré de l’équation , qu'onm

fasse «í-f- x=o-, &'qu’on substitue a,u t

lieu de x fa valeur en + , on aura un enouvelle équation , d’où tirant des va-leurs + en férie , on aura autant de va-leurs imaginaires de chaque lérie que l'é-m--

quation r-f- 1 a dc racines imaginaires ,& la proposée aura autant de racinesimaginaires, íì une de ces séries est con-vergente.

Ces principes posés, on voit qu'it t'agitd’abord de savoir distinguer entre une in-finité de séries celles qu’on peut prendrepar des racines différentes; soit donc la

n

proposée a -f í r-)- c r-■ +p x

=0 , il est aisé de voir nue fi l’on Faita=o, il y aune racine qui s’évanouira ,deux qui s'tvanouiront fi on fait à la fois

a & bz=o , trois fi on fait, ci , b , c - - o ,

& ainsi de fuite. -Par conséquent fi on faitd’abord b= o, on aura — «+c x ' -f*

n

p x =0, l’équation aura deux racineségales à zéro, en faisant «=©, &par conséquent deux racines infinimentpetites & égales aux deux racines- de0 + c x'~- o lorsque « est infiniment pe-tit. 11 est aisé en effet de voir que aétant infiniment petit & b manquant,la proposée a deux racines infiniment pe-tites; que dans le cas de deux racinesinfiniment petites c se réduit à être leproduit de toutes les autres racines, puis-que les autres termes qui entrent danse,dil'paroissent devant celui-là ; & qn’ainfin , qui est le produit de toutes les raci-nes , étant divisé par c, devient le pro-duit des lieux racines infiniment petites ,qui font par conséquent égales aux ra-cines de l’équation ct -f- e x*=:0 : dc mê-me fi l'on fait b Si c égaux à zern , St ainfiniment pct't, trois des racines de l'é-qv.ation deviendront égales à celles del'é-qi'riticm a + c x 1 o , & ain fi de fuite.

Si donc on a différentes féries qui re-présentent la valeur de 2.. on pourra dûftingner par-!à celles qui font réellementdifférentes', c, ct, d, qui appartiennentà des racines différentes.

La méthode proposée ci- dessus donneune vals ur de .r en quantité connue tou-tes les, fois que x est donné par une équa-tion déterminée, soit qu'it y ait, soitqu’il n’y ait pas de transcendantes. Mais.on n'est pas sûr d’avoir cette valeur par