A P P

t X

Faudra huey=:A x‘ + B x + C, e +t' x

B e , & c. & ainsi dc suite , pour quatre,cinq, L c, racines égaies: an lieu deifx /+ f' x -f'x

A' e + B*e + Ce &c. Onvoitgue,dans le cas de deux racines égales , c’estiCîtx fx zf'x

A' x f B'x e + C'f+f'x D'e+ &c. qu’il faut prendre, & ainsi de fuite.

Si la proposée avait eu un terme con-stant, Squ’eile eût contenu y au premierrang , on auroit fait

tx t'x 2 fx fìf'x

yz=eA + Ee + Ce Sec. + A e + B’e ,L si v avait été dans les rangs supérieurs ,on aurait trouvé les B , C, &c. toujoursarbitraires, & s par une équation d’un de-gré dépendant du rang de la valeur hypo-thétique, où l'on se sera arrêté: fij^ man-que dans les rangs supérieurs de la pro-posée , alors / est encore ici donnée parune équation du degré ».

Si la proposée ne contient pas y a upremier rang, & qu’eile ait un termeconstant, iì faudra prendre

fx f'x fx

y=a xì B e + C e &c. A' x' + B' x Sec.

Cette méthode d'avoir en série la va-leur y , lorlqu’on a une équation différen-tielle «n^ & en x, s’applique au cas, oùayant m équations en m + I variables

z , u , y . x , on cherche à exprimer

z, u, y, .par une fonction en x.

On peut même l’étcndrc aux équationsaux différences finies , oiiAr est supposéconstant ; la solution sera la même abso-lument, à cela près que les arbitrairesA , B, C , &c. feront dans ce cas égales àa x aAx

des Fonctions de e , e =o, & cesfonctions étant telles qu’elles ne changentpas de valeur, lorsque x devient x tAi.

Cette même méthode Rappliquera en-core aux équations aux différentes partiel-les : soit en effet une de ces équations quine contienne que z L ses différences, fanscontenir de z , dc y , ni de terme constant,txrgy t'xíg'y

fi jc fais z = A c + B c Sec. +

zfxì-îgy

. -fx+gTg'y

A' e + B' e f Le.j'aiiraî,

les A, B, arbitraires, une équation enf&g,cn forte que/fera tout ce qn’cn vou-

A P P 89

dra, Se g donné en f, & que le terme

A e tx ^ Sec. fera la somme de toii s cestermes, dont le nombre est infini.

S’il y a un terme constant, & que z soitdans le premier rang , on fera z = A f

B e tx gy Sec. & alors, selon le rang oùl’on s’arrêtera, l’équation en/& g serad’un ordre plus élevé.

Le moyen pour déterminer les arbitrai-res, fera le même que dans les équationslinéaires. Voyez Lin e aik e.

La méthode exposée jnl'qu’ici sert à don-ner yen*, lorsqu’on sait que y est très-petit , & qn’on en peut négliger unecertaine puissance. Voici une autre mé-thode qui peut servira avoir y en x lors-que x est très-petit, lorsque l’équationest du premier ordre.

Elle est fondée sur cette remarque, quefi A dx+ B dy est une équation q ni a tousses termes, A 8e B étant rationnels, & que

ces fonctions étant du degré m , ren-

dent différentielle exacte u ne équationpeu différente de A dxíB dy= o,on pour-

ra , en prenannt

A'\Z

A'+Z

pour fracteur de

A djvf B d x, faire Z Se Z d’un degrétel, que négligeant les secondes dimen-sions des coëfficiens de Z&Z ', & des pe-tits coëfficiens de A dx +Adx ,dans la con-dition d’intégrabilité, le nombre des coëf-ficiens indéterminés surpasse celui deséquations de comparaison ; donc on auraen série l’intégrale de A dx.+ B dy, tou-tes les fois que l’on aura celle d’une équa-tion peu différente : donc on saura tou-tes les fois que l’ou pourra regarder xcomme une quantité très-petite.

On peut étendre cette méthode auxordres plus élevés.

Après avoir donné le moyen d’avoiry en x par une férie lorsquey est donnépar une équation différentielle, suppo-sons que y soit très - petit, qn’on puisseen négliger une certaine puissance , &voyons ce qui doit arriver.

fx

l°.Si la valeur dey est de la formes ef'x f'x ifx fxf'x

f B e f Ce . .. . + A' e \ B' e&c. Se que tous les/ Soient réels & néga-tifs, ou bien imaginaiiessans partie réelle,