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une série qui soit tonjonrs convergente,C'est par cette raison que je vais indiquerici tine méthode élémentaire & très-íì.in-ple, par laquelle on parviendra toujoursà t lut'.s les voisins approchées de x.

i''. Si !a fonction AA=o a plusieursvaleurs, ou les prendra succeffivement;saisi X sera' considéré dans la fuite com-me une fonction qui n’a qu’unc valeur,répondante à chaque valeur de x.

2°. On cherchera d'abcrd les valeursds x positives qui rendent AA=o, &on commencera par déterminer pour *(ine qmintiré telle qti’en l’aiigmeutant Xne puisse plus changer designe, ni de-venir zéro ; ce qui fera toujours possi-ble tontes les fois que A'=o n’aura pasnue infinité de racines. Ce dernier cas serappellerait aux autres en mettant at?

3 o u rie te, x= sinus, x, par exemple: cilcftet alors au lien de x , onauroit « an-gle dont le sinus est ,r/, & au lieu d’uufeu! A r à examiner , on en mettroit uneinfinité répondant à sangle dont lesinus est x + m II, m étant un entierquelconque.

3 '.Connoissant les limites de x ,on pren-<ka*+--qu’on substituera dans la pro-posée , & on aura X r ~—o; alors— repré

y

sèmera les différences qu’il y a entre x& la valeur de l’équatiou AT=o.

d". Substituant d ms A==.o îes valeurssuccessives en nombre entier de x , de-puis *3=0 jtts-;u’à ta limite, & cherchantpour ih-ciine les limites de v, j’auraiv-—< A, A étant cette limite ; donc i!«’y a point de racines de A'=:oeutre

ceíie valeur dï x & x + f.

A

<j°. Prenant ensuite tontes les valeurs

x -f- 1 entre ô h la limite de x , on fera

A

la mémo opération, & par ce moyenon parviendra à approcher des valeursde r.

(■>'. Pour trouver les valeurs négatives,on scia dans la proposée x =— x, &on rheichera les valeurs positives de x.7". Pour trouver s’il y a Jes racines

é, nies, on égalera ì zéro la juanlitéA:

° » ' .d v

ensuite on esiecheia !rs racines positives

APP

ou négatives , & nn verra si les racinesne différent de edies de A’==o , que d'ti-ne petite quantité, & si on répète íesqp-froximatioas , cette différence diminuecontinuellement.

La méthode de M. de la Grange four-nit un moyen d’avoir en férie la valeurd’ime quantité quelconque y. en x, lors-que y est dunné par une équation en x& y : fi cette équation est différentielle ,on parviendra également à avoir une tel-le série: soit en effet une équation diffé-rentielle cny L x, on sera ensorte qu’el-le en contienne plus que d x ; cela posé,si réqnation mise sous une forme ratio-neUe & entiere , ayant tous ses rangs,L la plus haute différence se trouvantdans le premier, elle n’a point de termet x t x ~t s xconfiant, on fera y=A e + B e Ce. ..

îïx flf'x î/si.r

+ A'e -f - f B e e -j- C e Sic. Sc

i°. on aura A, B, C, Le. arbitraire,& si n est Perdre de réquatioin, f feradonné par une équation du degré n, f 1par ia même équation. &c. en forte quefi /'/"■! font les différent 11 racines decelte équation ; j°. la substitution de~fx f+f'x

A'e B'e dans le premier rang, don-ne des termes égaux , chacun à chacun,t x t x

à ceux que A e + B c &c. produitdans le second -, donc A ', B' , Le. ferontdonnés en A , E , & ainsi de fuite : Z°.si i équation en fa deux racines égales ,

tx

soit/'cette racine, il faudra Faire Axet x n n-ï

+ B e Le. , en effet, si Fdy + Qdy L »-£Sic. est le R dy rang de la proposée ,n u I n-z

on aura B ( F f t ,Q f t R f Le. ) =.on '— --v.-i —— -n 2

& A (Ff \ QfuFf\ Bfn-Qf &c. ) =odonc on aura à la fois

n n-ï K-2

ïf+fLf + Rf , &c. =0,

».i »-2 n-2

& n P f + n-ï f J f + n- z R f ,&c.=r.O

Ce qui a lien toutes ies fois que l’éqiiationcn/a deux racines égal is. Ou prouvera demême que si cette équation eu a trois, il