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Jer & d* Gua, déjà cités, & l’ouvragede M, Cramer, qui a pour titre Intro-duffìon à l'analyse des lignes courbes ,Geneve 1750 , in-4 0 .

Nous avons vu ci-deffus comment ontransforme les axes x & y d’nne courbeparles équations xz=A î + Bh + C,y=zDz + Eu + F; c’est-là la trans-formation la plus générale} & si onveut faire des transformations plus sim-ples , on n’a qu’à supposer un des coef-ficiens A, B, C, B, Le. ou plusieurségauxà?ero, pourvu qu’on ne supposepas, par exemple, A & B ensembleégaux à zero , ni D & E ensemble égauxà zero , car on auroit x = C, & y = Fice qui ne se peut, puisque x & y quisont des indéterminées , ne peuvent êtreégales à des constantes. On ne doit pointnon-plus supposer en même temps B &E= o, ni A & D = o i car , substi-tuant les valeurs de x & de.y, on n’au-roit plus dans l’éqnation de la courbequ’une feule indéterminée u. Or il fautqu’il y en ait toujours deux.

II est visible que si on substitue à la pla-ce de x & de y les valeurs ci-dessus dansl’équation de la courbe , l’équation n’aug-mentera pas de dimension ; car 011 dé-termine la dimension & le degré de l'é-quation d’une courbe, par la plus hautedimension à laquelle fe trouve l’une oul’autre des inconnues x, y, ou le pro-duit des inconnues; par exemple, l’é-quation d’une courbe est du troisième de.gré, lorsqu’elle contient le cube^’, oule cube x*, ou le produit x y y, oux xy, ou toutes çes quantités à la fois, ouquelques-unes feulement- Or, commedans les équations x === A z + B u + C ,y =z D z-{-Eu +F, z &u ne montentqu’au premier degré, il est évident quesi on substitue ces valeurs dans l’équationen x & en y , la dimension de Téquation& son degré n’augmentera pas. 11 est évi-dent par la même raison , qu’elle ne di-minuera pas ; car si elle diqiinuoit, c’est-à-dire , si l’équation en z & en u étoientde moindre dimension que l’équation enx & en y , alors substituant pour 2. L pourt( leurs valeurs en x & en y , lesquellesfont d’une seple dimension , comme ilest aisé de le voir , on retrouverait l’é-qpatian en x & en y, & par conséquent onjaapyiendroit à une équation d'unç dìmen-

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flon plus élevée que l’équation en z & enk ; ce qui est contre la premiere proposition.

Donc en général, quelque transforma-tion d’axe q ne l’on faste , l’équation de lacourbe ne change point de dimension. Onpeut voir dans l’ouvrage de M. l’abbe deGua, L dans l’introdustion à l’analysedes lignes courbes par M. Cramer , lesmaniérés abrégées de faire le calcul pourla transformation des axes. Mais ce n estpas de quoi il s’agit ici, cette abréviationde calcul étant indifférente en elle-mémeaux propriétés de la courbe. Voyez aujjtTransformation désaxés ,

Courbes algébriques du même genre oudu même ordre, ou du même degré, fontcelles dont réquition monte à la mêmedimension. V. Ordre £fDEGRÉ.

Les courbes géométriques étant une ■fois déterminées par la relation des or-données aux abscisses , 011 les distingueen différois genres ou ordres; ainsi leslignes droites font les lignes du premierordre ; les lignes du second ordre sont lessections côniques.

II faut observer qu’une courbe dn pre-mier genre , est la même qu’une ligne dusecond ordre, parce que les lignes droitesne font point comptées parmi les courbes,& qu’une ligne du troisième ordre est 1amême chose qu'nne courbe du second gen-re. Les courbes du premier genre fontdonc celles dont l’équation monte à deuxdimensions ; dans celles du second genre,l’éqnation monte à trois dimensions, àquatre dans celles du troisième genre,esc.

Par exemple, l’équation d’hn cercle esty ' —— 2 a x—x x ou y 1 =a' í .v" ; le cer-cle est donc une courbe du premier genre& une ligne du second ordre.

De même la courbe , dont l’éqnation est» x=+, estime courbe du premier gen-re; & celle qui a pour équation a z x= , y,est courbe d u second genre L ligne du troi-sième ordre.

Sur les différentes courbes du premiergenre & leurs propriétés, -voyez Sec-tions CONIQUES aumot CONIQUE.

On a vu à cet article Conique, quelleest l’équation la plus générale des lignesdu second ordre, & on trouve que cetteéquation 33 + 2+1 termes ; on trouve-ra de même que l’équation la plus géné-rale des signes du troisième erdrç est f