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+ nxy 1 + bx xy + ex 3 + e y 1 + fx y -f-gxx+hx + iy + l~ o, & qu’elle a4 + 3 + î + i termes , c’est-à-dire lo ;en général, l’équation la plus composéede l’ordre», aura un nombre de termes ,

== ( « + 2 ) X (2-í- 1 ), c’est - à - dire,

à la somme d’une progression arithméti-que, dont n + i est le premier terme &I le dernier. Voyez PROGRESSIONARITHMETIQUE.

II est clair qu’une droite ne peut ja-mais rencontrer une ligne d u » e ordrequ’en n points tout a u plus ; car quel-que transformation qu’on donne auxaxes, l’ordonnée n’aura jamais que nvaleurs ré, Iles tout an plus, puisquel’équation ne peut être que du degré n.On peut voir dans l'oirvrage de M. Cra-mer , déjà cité, plusieurs autres propo-sitions , auxqtiellcs nous renvoyons, furle nombre des points , où les lignes dedifferens ordres on du même ordre peu-vent se couper. Nmis dirons feulementque l’équation d’une courbe du degré nétant ordonnée, par exemple, par rap-port ; en forte quey” n’ait pour coef-ficient que l’unité ; cette équation auraautant de coefficiens qu’il y a de termes,

• , - , » -,moins un, c est a-dire, -—. Donc

fi on donne un pareil nombre de points ,la courbe du «' ordre qui doit passer parces points fera facilement déterminable ;ca- en prenant un axe quelconque à vo-lonté , & menant des points donnés des

, , , w « + 3 »

ordonnées a cet axe, on aura -——,

ordonnées connues , ainsi que les abscis-ses correspondantes , & par conséquentou pourra Former autant d’équations ,dont les inconnues seront les coefficiensde l’équation générale. Ces équations nedonneront jamais oue des valeurs linéai-res pour les coefficiens , qu’on pourrapar conséquent trouver toujours facile-ment.

Au reste , il peut arriver que quelques,uns des coefficiens soient indéterminés,auqnel cas on pourra faire passer plusieurslignes du même ordre par les points don-nés 5 ou que les poinrs donnés soient telsque la csarée n’y puisse passer , pour lorsl’gquatiQu fera réductible en plusieurs au-

c O U

tres rationnelles. Par exemple , qu'oupropose de faire passer une section coniquepar cinq points donnés ( car »étant= 2 ,

- ” ^ " est = ;) : il est visible que si

trois de ees points font en ligne droite, lasection n’y pourra passer ; car une sec-tion conique ne peut jamais être coupéequ’e.o deux points par une ligne droite,puisque son équation n’est jamais que dedeux dimensions. Qu’arrivcra-t-il donc?l’équation fera réductible en deux du pre-mier degré, qui représenteront non unesection conique , mais le système de deuxlignes droites, & ainsi des autres.

On peu*- remarquer aussi que si quel-ques coefficiens se trouvent infinis , l’é-quation se simplifie; cat les autres coef-ficiens font nuls par rapport à ceux-là ,St on doit par conséquent effacer lestermes où se trouvent ces coefficiensnuls.

M. Newton a fait fur les courbes dusecond genre un traité intitulé, Enume-rutio linearmn tertii ordinìs. Les démon-strations des différentes propositions dece traité, se trouvent, pour la plupart,dans les ouvrages de MM. Stirling &Maclaurin fur les courbes , & dans lesautres ouvrages dont nous avons déjàparlé. Nous állons rapporter sommaire-ment quelques-uns des principaux arti-cles de l’ouvrage de M, Newton.. Cet au-teur remarque que les courbes du secondgenre & des genres plus élevés, ont despropriétés analogues à celles des courbesdu premier genre : par exemple, les sec-tions coniques ont des diamètres & desaxes ; les lignes que ces diamètres cou-pent en deux parties égales font appel-lées ordonnées ; & le point de la courbeoù passe le diamètre est nommé sommet ;de même si dans une courbe du secondgenre ou tire deux lignes droites pa-rallèles qui rencontrent la courbe entrois points, une ligne droite qui cou-pera ces parallèles, de maniéré que lasomme des deux parties comprises entrela sécante & la courbe d’un même coté,soit égale à l’autre partie comprise entrela sécante & la courbe , coupera, sui-vant la même loi, toutes les autres li-gnes qu’on pourra mener parallèlementaux deux premières, & qui seront ter»