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minées à la courbe, c’est - à - dire, lescoupera de maniéré que la somme desdeux parties d’un même coté fera égaieà Tautre partie.

En effet, ayant ordonné Inéquationde maniéré que y* fans coefficient soita_u premier terme, le second terme sera+ & ce second terme con-

tiendra la somme des racines, c’est-à-dire des valeurs de y. Voyez Equa-tion. Or, par l'hypothese , il ya deuxvaleurs de x qui rendent ce second ter-mee=o, puisqn’il y a deux valeurs dequ! donnent la somme des or-données positives égale â la somme desnégatives. Donc il y a deux valeurs dex, savoir A Sc B, qui donnent n -f- bA = o, a+Bb=: o. Or cela ne peutêtre, a moins qu’en général on n’ait«=o, b— :0. Donc a + b x = o ,quelque valeur qu’on suppose à x. Doncle second terme manque dans ['équation.Donc la somme des ordonnées positiveseftpar-tout égale á la somme des ordon-nées négatives.

On petit étendre ce théorème aux de-grés plus élevés. Par exemple, dans lequatrième ordre, le terme étants 3( n + b x ) , c’est encore la même chose ;& si deux valeurs de x donnent la som-me des ordonnées nulle , toutes les au-tres valeurs la donneront.

Outre cela, comme dans les sectionscôniques non paraboliques, le quatred’une ordonnée, e’eft-à-dire, le rec-tangle des ordonnées situées de deuxdifférons cotés du diamètre, est an rectan-gle des parties du diamètre terminées■aux sommets de l’eUipse ou de ì’hyperbo-le , comme une ligne donnée appeiléelotus reílurn ou paramétré, est à la par-tie du diamètre comprise entre les som-mets , & appeilée lattis tranpverfum’, demême dans les courbes du second genrenon paraboliques, le parallélipipede foustrois ordonnées est au parallélipipedefous les trois parties du diamètre termi-nées par les sommets & par la rencontredes ordonnées, dans un rapport con-stant.

Cela est fondé fur ce que le dernier ter-me de l’équation $ savoir b te 3 -f- lx z -f- ma:-f-« , est le produit de toutes les raci-nes ; que ce dernier terme est outre celale produit de A x + B par Dx -f- E, &

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par .faí-h G & que aux points où yr=oo,c'est-à-dire, où le diamètre coupe la cour.be, points que l’on appelle ici sommets ,

avec ces propositions on trouvera Facile-j ment la démonstration dont ii s’agit, ainsique celle des théorèmes suivans, qui fontauffi tirés de M. Newton.

Comme dans la parabole conique quin’a qu’un sommet sur un seul & mêmediamètre, le rectangle des ordonnées estégal au produit de la partie du diamè-tre comprise entre le sommet & I’ordon-,née par une ligne constante appeiléelotus reílurn , de même dans cellesdes courbes du second genre qui n’ontque deux sommets fur un même & uni-que diamètre, le parallélipipede foustrois ordonnées est égal an parallélépipè-de fous les deux parties du diamètre,comprise entre les sommets & la ren-contre de l’ordonnée , & foui une troi-sième ligne constante, que l’on peut parconséquent nommer lotus reílurn. VoyezParabole.

De plus, dans les sections côniques,si deux lignes parallèles & terminées àla section, sont coupées par destx au-tres lignes parallèles & terminées à lasection, la premiere par la troisième Stla seconde par la quatrième, le rectan-gle des parties de la premiere, est artrectangle des parties de la troisième ,comme le rectangle des parties de la se-conde est au rectangle des parties de làquatrième; de même auffi, si on tiredans une courbe du second genre deux| lignes parallèles, terminées à la courbeen trois points, & coupées par deux au-tres parallèles terminées à la même cour-be , chacune en trois points, le paral-lélipipede des trois parties de la pre-miere ligne fera à celui des trois par-ties de la troisième, comme le parallé-lipipede des trois parties de la secon-de , est à celui des 3 parties de la qua-trième.

Enftrt les branches infinies des cour-bes da premier & du second genre & desgenres plus élevés, font ou du genrehyperbolique ou du genre parabolique:Une branche hyperbolique est celle quiaune asymptote, c’est-à-dire, qui s’ap-