cou

Nous avons vu à Y article CONIQUE,comment l’équation générale des sec-tions côniques ou lignes du second or-dre donne trois courbes différentes. V.le troisième vol. p. 8"8 , col. i; nousremarquerons seulement ici , i°. qu’ilfaut — Duu, au lieu de Duu-, c’estune Faute d’impreflìon : 2°. que lorsqueU est négatif, & par conséquent —Duupositif, alors l’équation primitive &générale y y f p x y f b x x f qy f c x f « = o est telle que la por-tion y y f pxy féxxases deux fac-teurs imaginaires, c’est-à-dire, que cetteportion yy f p xy f b x x supposée égaleà zero ne donneroit aucune racine réelle.On peut aisément s’en assurer par le cal-

PP ,

cul; car en ce cas on trouvera <6,

& la quantité A dans la transforméezz.-\Axx-\Bx\ C—o fera positive,& par conséquent — D positive : 3°.dans l’équation z z— D u u f Pu tG = o, on peut réduire les trois termes—D u u f Pu f Gà deux f K1 1 f H,lorsque D n’estpas = o, par la mêmeméthode qu’on employé pour faire éva-nouir le second terme d’une équationdu second degré , c’est-à-dire , en faisant

u — -~=.t, L alors l’équation sera

zz \ K 11 H =o ; équation à l’ellip-se, siTfest positif; & à ['hyperbole, siK est négatif: 4 0 . siO = o, en ce cas

on fera ^ « î 6_ kt, Sc l’équation

sera z2 f ktc= o, qui est à la parabole :$°. dans le cas où D = o, y y f pxy fb xy a ses deux facteurs égaux ; & dansle cas où D est positif, c’est-à-dire, où— D uu est négatif, yy f pxy f byya ses deux facteurs réels & inégaux, &l’équation appartient à l’hyperbíile , carP P

en ce cas —>ê, & A est négative.

V. fur cela , si vous le jugez à propos,le septième livre des sections coniquesde M. de l’Hôpital, qui traite des lieuxgéométriques ; vous y verrez commentì’équatíon générale des sections côniquesse transforme en équation à la parabole ,à l’ellipse 011 à l’hyperbole > suivant quevest un quarré, ou unequantité composée de facteurs imaginai-res, ou de facteurs réels inégaux. Paf-

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sons maintenant aux lignes du troisièmeordre ou courbes du second genre.

Réductions des courbes du second genre.M. Newton réduit toutes les courbes dusecond genre à quatre especes princi-pales représentées par quatre équations.Dans la premiere, le rapport des or-données.? aux abscisses x, est représentépar l’équation x y y -f e y=a x 3 +bxx+cx+d ; dans la seconde, l’é-quation a cette forme , xy =a *’ +by y + cy -f- d ; dans la troisième, l’é-quation est y y z= a x' b x 2 + c x-\-d enfin la quatrième a pour équationy = ax 1 f b x 2 + c x + d.

Pour arriver à ces quatre équations,il faut d’abord prendre l’équation géné-rale la plus composée des lignes d u troi-sième ordre , & l’écrire ainsi :

z 3 + b z' u + cz u~ + c si 3 \

+f z z + gzu +bmi[=o.

+ i z + lu f

+ m J

O11 remarquera que le plus haut rangz 3 f b z tP f cztr f cu 3 étant du troi-sième degré, il aura au moins un fac-teur réel ; les deux autres étant ouégaux entr’eux & inégaux au premierFacteur, ou réels & inégaux tant en-tr’eux qu’avec le premier facteur, ouimaginaires , ou enfin égaux au premier.Soit z f A u ce fréteur réel, Sc faisonsd’abord abstraction du cas où les troisfacteurs font égaux ; soit supposé z fA u = t , on aura une transformée quicontiendra t 3 , P, t, tuu, utt, tu,uuSctt avec un terme constant ; or onfera d’abord disparaître le terme » «, ensupposant t f P=s-, ensuite en fai-sant u~Ns f p f £ (les grandeslettres désignent ici des cocOiciens),on fera disparaître les termes utt Scut-, Sc il ne restera plus que des ter-mes qui représenteront la premiere équa-tion xyy f e y = ax 3 -f bx x f ex fd = o.

E11 second lieu , si les trois facteursdu plus haut rang font égaux, on n’auradaHS l’équation transformée, en faisantz f A u = t , que les tenues t 3 , t 2 -,t , u, tu, u u, & un terme constant.Or 011 peut faire disparaître ies termest u Sc u , en supposant a f R t f R=/, ct l’on aura une équation de la