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forme y y =s a X 1 + b act + c x -f- < 1 .Troisième Formé de M. Newton. Nousremarquerons même que cette équationpourroit encore se simplifier ; car en sup-posant x -st q , on feroit évanouirles termes b x x ou ri , & quelquefois leterme c x.

3°. Si les trois facteurs du premierrang font égaux , & que de plus unde ces facteurs soit aussi facteur du se-cond rang fzz -f- gztt -f- h u u, alorsla transformée aura des termes de cetteforme i’ , i, ta, 11 , u, & un termeconstant. Or faisant t -st Rz=q , onfera disparoître le terme « , & on auratine équation de cette forme x y uss -st h x z -st c x -st à. Seconde formedé M. Newton. Cependant on pourroitencore simplifier cette équation, & fairedisparoître les detix termes b x % -st ex,en supposant Xz^Q p, &iyz=ífp -stR x ct- M.

4°. Ènfin si les trois facteurs du pre-mier rang étant égaux , ceux du secondfont les mêmes, l’équation alors n’áuraque dés terme» de cette forme í* t t,v & t, avec uii terme constant, & ellefera de la quatrième forme de M. New-ton , y = d a: 5 -st b x : -f c x -st rí. delaquelle on petit encore faire disparoîtreles termes b x~ «f- c x -f- ri , en supposantX=f + R , &_r + xi Q=zi. Éhce cas l’équation sera de la forme y= AX ì , représentera la premiers parabolecubique. Voy. les usages de Panalyse deBescartts , par M. l’abbé de Gua, page437 U fui'!’.

On Voit par ce détail sut quoi est fon-dée la division générale des lignes du troi-sième ordre qu'a donnée M. Newton ; onvoit <le plus que les équations qu’îl a don-nées duroient pu encore recevoir toutestme forme plus simple, à l’exception dela première.

Enumération des courbes dit secondgenre, fauteur subdivise ensuite cesquatre especes principales cn un grandIrombre d’autres particulieresit à qui ildonne différens noms.

Le premier cas qiii est fce'ui de x yy

tri = niMii'Fcrsé = o,est celui qui donne le plus grand nom-bre de subdivisions ; les trois subdivi-sions principales sont que les deux au-tres racines du plus haut rang soient

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on réelles & inégales, ou imaginaires,ou réelles & égales; & chacune de ceSsubdivisions en produit encore d’autreí-Fcycz Pouvrage de M. l’abbé de Gua,page 440 U suit1.

Lori'qu’une hyperbole est toute en-tière au-dedans des asymptotes, commel’hyperbole cônique , M. Newton l’ap-pelie hyperbole inscrite : lorsqu’elle coupechacune de ses asymptotes , pour venirse placer extérieurement par rapport àchacune des parties coupées, il la nommehyperbole circonscrite : enfin lorfqu’unede fes branches est inscrite à son asymp-tote, & sautre circonscrite à la sienne jil rappelle hyperbole ambigene .* celledont les branches tendent du mêmtzcoté, il la nomme hyperbole conver-gente : celte dont les branches Ont desdirections contraires, hyperbole diver-gente : celle doht íes branches tOufnentleur convexité de différens cotés, hy-perbole à branches contraires : celle quia un sommet concave vers l’asymptotè& des branches divergentes, hyperboleeoncboïàaie : celle qnì coupe son asymp-tote avec des points d’inflexion, & quis’étend vers deux cotés opposés , 'hyper-bole anguinée otl serpentante : Celle quicoupe la branche conjuguée, cruciforme :celle qui retourne sor elle-mêine & secoupe , hyperbole à nœud : celle dont lesdeux parties concourent eh lin ánglçde contact & s'V terminent , hyperboleà pointe ou à rebtonjsemeíit : celle dontla conjuguée est nue ovale infiniment:petite, c’est-à-dire , un point, hyperbolepointée ou à point conjugué : celle quìpar ('impossibilité de deux racines 11’ani ovale , ni point Conjugué, tir pointde rebrouffemeht, hyperbole pure ; l’au-teur se sert dans le nrêine sens des dé-nominations de parabole convergente , di-vergente, cruciforme, &c. Lorsque lénombre des branches hyperboliques sor-’ passe celui des branches de l'hyperbolecônique * íi appelle í'hyperbolè redon-dante.

M- Newton compte jnsqu’à soixánté-douze especes inférieures dé courbes dttsecond genre : de ces courbes il y en Lneuf qui sont des hyperboles redon-dantes fans diamètre, dont les troisasymptotes forment un triangle, lie ceshyperboles, ía premiere en renferme

trois