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dire , peur trouver son intégrait en ter-me.-, íìriiv toutes les Fois que cette inté-grale existe. Je ne parlerai que d’uneéquation à deux variables, & Rappelle-rai fonction de F ordre n , équation de l'or-drtn , une fraction & une équation qui

contiendront d”v, d ìl x: ce degré d’uneéquation est celui où montent dans cetteéquation les plus limites différences.

Soit donc une équation différentielle

entre x, y, dx , dy .... iì w jc, d^y, &qu’on facile qu’ily aune équation finie,quia iieu en même temps que la propo-sée ; il s’agit de trouver cette équationfinie.

i°. J’appellc if 1s fonction finie, quiétant .égalée à zero , est l ’intégrale cher-chée. lì est clair que ia proposée est pro-duite par la comparaison des équationsZ=c O, dZrxzx O, d 3 Z= O . . . .

i n Z~ ro. Ces équations font au nombrede h- f-i j St comme citadine d’eiles con-trent de nouvelles différences , on ne peutéliminer par ce moyen que » constantes,qui par conséquent ne se trouvent plusdans la proposée, & sont arbitraires dansl' intégrale.

2 °. Soit C la premiere de ces arbitrai-res', qu’on puisse faire évanouir , en fortequ’on ait n équations fans C: on voitque si on ajoute à C la somme d’un nom-bre indéfini de fonctions logarithmiques ,& qu’on multiplie ia même quantité Cpar le produit d’mi nombre indéfini d’ex-ponentielìes , telles que la différentielledes exposons soit algébrique, les loga-rithmes , ou les exponentielles difparoî-tront en même temps que C; & il nerestera plus dans les équations que la dif-férence, soit des exposons , soit des fonc-tions logarithmiques ; soit C la secondeconstante qu’on pniiïe faire disparoîtrepour avoir »—i équations on trouvera,i°. que C ! peut fe trouver dans les diffé-rences des Fonctions disparues avec Ci2 °. q u'il peut être multiplié comme Cpar un produit d’exponentieìles , ouajouté à une somme de logarithmes fansqifil reste autre chose de ces fonctionsaprès l’élimination que la différentielledes logarithmes ou des exposons.

3". La proposée peut toujours êtremile fous la forme A Z-{-B d Z +

6 d'Z., , + í&». A, £, C,...

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H ne devenant point infini lorfqn’on yfaito, on peut donc supposer quela proposée est de la forme F. d A 1 Z

+ B 1 d Z_+ JQ! d n '] o. En

effet, comparant terme à terme cetteforme avec la précédente , on a autantde coèfifciens indéterminés que d’équê-tions.

4 *. Parmi les équations fans Cdu «°.2 , il y en a une du premier ordre, une du

second.tine du n : & parmi les

équations fans C & (?, il y cn a une di»second ordre, une du troisième , un«

du n , & ainsi de suite. Puisqu’on àune valeur de C' en la substituant danscelle de C, on aura une valeur de Csons C r -, de même substituant ia valeurde C dans celle de C & de C, onaura une valeur de C fans C' ni C f/ , &de C 1 fans C ", & ainsi de fuite; on auradonc des valeurs de chaque arbitraire C,C', C // , .... telles que les autres ar-bitraires ne n’y trouvent point, nonplus que les fonctions logarithmiques ouexponentielles qui peuvent leur avoirité ajoutées ou les avoir multipliées.Dans les équations qui donnent cette va-leur de chacune des constantes arbitrai-res, on peut supposer qu’eile est multi-pliée par une fonction exponentielle,ou qu’elle est ajoutée à une fonction lo-garithmique, ces fonctions pourront êtrede l’ordren—i. La différentielle de ceslogarithmes ou des expo fans, fera algé-brique ; en sorte que chacune de ceséquations étant différenciée , pourra pro-duire la proposée. La proposée aura doncun nombre n d'intégrale de l'ordre «—i,contenant chacune une logarithmique;& telles qu’éliminant les différences, onen déduise l 'intégrale finie.

ç°. Si Ia proposée est du premier de-gré , & ne contient pis de radicaux , leFacteur qui peut la rendre une différen-tielle exacte, peut être supposé ne point

contenir de termes de la forme P' a , m Fétant raiional , & un nombre incom-mensurable. En effet, dans ce cas , la

proposée ne contenant pas F m , il fau-

droit que le coefficient de F’ n fût a r-bitraire. Or fi ce coefficient est arbi-traire, repassant dans Vintégrait des lo-garithmes anx nombre», ou verra qu-’ii