3 . HATHEMATIK.

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3. Mathematik.

Die Geometrie und Arithmetik verdanken die Sicherheitihrer Lehrsätze der Klarheit ihrer Principien und der logischenSchärfe ihrer Folgerungen. Die Principien bestehn in Grund-sätzen, Axiomala, die an sich evident und nur der bestimmteAusdruck der einfachsten Vorstellungen sind; („das Ganze istgrösser als sein Theil,“ „die gerade Linie ist der kürzeste Wegzwischen zwei Punkten“), in Erklärungen, Definitionen , welchedie Bedeutung und die Grenzen aller neu eingeführten Begriffebestimmen, und in Aufgaben, Problemen, deren Zweck ist, dieneu eingeführten Begriffe durch Construction, d. h. Hervor-bringung ihres Gegenstandes vollkommen klar zu machen und alsmögliche nachzuweisen („über einer gegebenen Linie ein gleich-seitiges Dreieck zu beschreiben“). Die abgeleiteten Lehrsätze,Theoremata, stützen sich zunächst auf die festgestellten Prin-cipien, und ihre Beweise dürfen nichts voraussetzen, was indiesen nicht enthalten ist; die bewiesenen Sätze werden dieGrundlage neuer Sätze, und auf gleichem Wege fortschreitenderhebt man sich allmählig zu den verwickeltesten Folgerungen.

Die Methode und Beweisführung heisst synthetisch,progressiv , a priori, wenn sie, von den Principien oder ein-facheren Lehrsätzen ausgehend, durch Verbindung mehrerer der-selben zu dem neuen Satze gelangt (der gewöhnliche Beweisdes Pylhagoräischen Lehrsatzes), analytisch, regressiv ,a posteriori, wenn der neue Satz, als etwas Gegebenes, inseine Bestandtheile und Voraussetzungen zerlegt und gezeigtwird, dass diese mit früher bewiesenen Sätzen, oder Grund-sätzen übereinstimmen (wenn, zum Beweis des angeführten Lehr-satzes, nachgewiesen wird, dass, wenn in einem Dreieck dasQuadrat einer Seite gleich ist der Quadratsumme der beidenanderen, das Dreieck rechtwinklicht sein müsse). Die Syntheseverfolgt gleichsam den Strom von den Quellen bis zur Mündung

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