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en considérant l’ordonnée comme positive,c’est un Minimum.

Ces vérités clairement conçues , les Géo-mètres cherchent à déterminer ces ordonnéesdans ces deux cas. Et voilà ce qu’ils appel-lent une question de Maximis Sc Minimis.A cette fin , ils considèrent qu’une quantitéqui croît ou diminue continuellement, nepeut de positive devenir négative , ou denégative devenir positive, lans passer oupar zero ou par l’infini : par zero en di-minuant , Sc par l’infini en augmentant.Donc la disserence dune quantité qui expri-me un Maximum ou un Minimum doit être 1égalée à zero ou à l’infini. II ne s’agi r doncplus pour résoudre le problème des MaximisSc Minimis , que d’exprimer la relation desordonnées aux abscisses ; d’en prendre ladifference, & d’cgaler cette disserence à zero.Ce qui revient de cette opération étant ré-duit parles réglés ordinaires de l’Algébre,c’est-à-dire , l’équation finale ou derniereétant dégagée , le Maximum ou le Mini-mum est connu. Mais comment trouver larelation de l’ordonnée à l’abscisse ? Ceci sup-pose la connoissance de la nature de lacourbe. Et quand la courbe n’est pas connue,Sc que le problème est général ou généra-lement exprimé , on forme de íes conditionsune équation qu’on suppose être la natured’une courbe quelconque, Sc on résout leproblème comme si cette courbe étoit véri-tablement connue. Un exemple général achè-vera de rendre sensible toute la théorie desMaximis Sc Minimis.

1. Problème de Maximis. Diviser une ligneA B ( Planche IV. Figure 67. ) en deux par-ties A C , C B, telle que le produit duquarté de l’une des parties A C par l’autreC B, soit un Maximum. Nommons la ligneAB, u; Sc une de ces parties AC, at; lapartie C B fera a — x. Or selon le pro-blème le quarté de A C (x x) multipliépar C B (a — x) doit être un Maximum.Le produit de ces deux quantités est a x x.— x s ; Sc afin qu’il soit tel qu’on le de-mande, il faut suivant la réglé le diffé-rencier Sc égaler cette disserence à zero.La difference deaxx — x 5 est z axdx. — t x* dx ( Voici là dessus Calcul dif-férentiel à l’article de CALCUL ), quiétant égalée à zero, donne zaxdx —$ x 2 d x = o. Et pour que cette égalité ysoit, on efface les dx par tout où ils setrouvent j ce qui donne z sl a; — 5xx = o.Faisant passer z u à la place de zero , Scréduisant l’équation par les réglés ordinaires

de l équation , pn a -v— —» = f a.

MAX

Pour se conduire dans ce calcul, onimagine une courbe BDE (Planche I V. Fi-gure 65. ) telle que la relation de l’abscisseB C ( qu’on nommera y) à l’ordonnée A C( x ) , soit exprimée par l’équation y =a x x — x ‘ .. r ..

-—-. Ainsi il ne s’agit que de cher-cher un point D où l’ordonnée A C par-vienne , Sc qu’elle y soit dans son plus grandaccroissement. Cela se trouve par le calculprécédent. Cette courbe sert à distinguer laquestion dans les cas d’un Maximum oud’unMinimum. Elle seroit un Minimum si larelation de l’ordonnée à l’abscisse , ou si lanature de la courbe étoit telle que l’or-donnée augmentant devînt infinie, c’est-à-dire, que M D devînt N E. Or cela arri-vera dans le cas suivant.

J. Problème de Minimis. Aïant une ligneA B ( Planche IV. Figure 68. ) partagée entrois parties AC, C D , D B , diviser lapartie C D du milieu , de maniéré que lerapport du produit CE par ED soit unMinimum.

Nommons les parties AC, a\ C D, b\D B , c -, Sc l’inconnue C E x. Ainsi A E =a -i- x ; E B = c — x ; ED = í—x. Lerapport de AE (a-\-x) x EB (t — x ),c’est-à-dire, a c -+- c x — a x — x x , à C Ex E D (Ax —- x x ) fera donc

a c -f- c x - a x-x x .

- ; -<-, qui doit etre un

b x — x x

Minimum.

C’est pourquoi on prendra la disserencede ce rapport qu’on égalera à zero. Cettedifference est a c b x — xx-\-bcxdx —xx-i-baxdx -— xx-4 - b x z x d x —>x x —— a c b d x —— x z d x —— b c x d x ——x ’ d x — a bx d x — x z dx — b dx — xx

— x 2 dx, le tout divisé par le quarté debx —xx, c’est-à-dire, par b z x 1

-t- z bx 5 -+- a*. On a donc cette expression ,a c b x— x x|-+-A c x d x —x x-+- b a x dx -

-xx+ bx z x dx - —x x - a c b d x—-

—— x 2 dx — b ex d x — x 2 — bx dx x —

— z xdx\ Sc cela divisé par A'x’-t*

-+-zÀx 5 -*-x* qu’il faut égaler à zero,Aïant divisé le tout par a d x on a c x x —a x x — í xx + z a c x — a c b = o, dontl’une des racines résout la question. Si l’onfait a c = a -t- b , on aura x = 5 b. C’estla conclusion qu’en a tiré M. le Marquis de{'Hôpital dans cette supposition , comme ilen aura déduit une différente dans touteautre. La chose ainsi résolue ou exposée,votons comment cette opération a donne PsiMinimum Sc non un Maximum,