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Clavìus est peut-être le premier qui ait Ienseigné la Projeclicn de la sphère. C’est cequ’on peut conclure de la manier t e abstrairedont il donne certe Projuhon dans IonTraire De Asrolabio. Taquet en a parléavec plus de clarté dans ion Optique , page178 6 c íuiv. ( Taquet Opéra, Tom. I.) 6 cVitty dans un Ouvrage particulier écrit enAnglois. On peut consulter austi les Elé-ment a Mathescos universce de M. fVols, To-me IV.

PROPORTION. Ressemblance de deux ouplu-íieurs raisons.Comme les raisons peuvent cttede trois sortes, ou Arithmétique, ou Géo-métrique, ou Harmonique ; on distingue troissortes de Proportions caractérisées par cestrois épitheres. Ces Proportions sedivilent en-core en plusieurs autres, comme on le verradans des articles particuliers que je déve-lopperais la suite de ceux-ci par ordre alpha-bétique. Disons auparavant pour exciterí’attention du Lecteur dans l’examen de cesarticles , que les Proportions font en quelqueforte l\ame des Mathématiques. Ainsi lesPersonnes qui s'interessent à cette vaste Scien-ce doivent en étudier la théorie avec loin.On la trouve dans les Elemens généraux ,mais particulièrement dans 1 ' Algorithmusproportionum de Puthach , dans 1 'Arithtne-tica intégra de Stifel , dans le CompendiumArithmeticum de Laurenberg, 6 c dans leCursus Mathcmaticus de Gaspard Schot.Quelques-uns de ces Auteurs donnent mêmeà la raison le nom de Proportion , 6 c ilsRappellent Proportionalité ou Médietè. Laressemblance ou Légalité de deux quantitésétant communément exprimée par le signe= , 6 c la Proportion n’écant autre choseque Légalité de deux raisons , on se sert demême dans les Proportions du signe =.( Foiei CARACTERE. ) Au reste lorsqu’onparle d’une Proportion sans la spécifier, onentend une Proportion géométrique.

Proportion arithmétique. Egalité compo-sée de deux ou de plusieurs raisons íem-blables , que l’on compare selon leur difte-rence qu’on trouve par leur soustraction.Exemple. La difference entre j 6 c 7 est 2,6 c celle qui est erure 9 & 11 est aullì 2.Par conséquent ces deux raisons arithméti-ques étant comparées entre elles font uneProportion arithmétique. Communément onexprime ainsi cette Proportion 5. 7 ‘.‘11.9. M. Leibnitil’éctit ainsi : 7— 5 = 11—9,ou en comparant le plus petit terme avecle plus grand 5 — 7 = 9 — 11. L’une &l’autre expression se prononce ainsi : Commele premier nombre ejì au fécond , ains le troi-sième ejl au quatrième. C’est-á-diie , autant

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U premier nombre surpasse ou ejl surpassé ,contient ou ejl contenu dar.s le second , autantle troisième surpasse ou es surpasse, contient oues contenu par le quatrième. Au reste cetteProportion n’est pas d’un grand usage.Proportion géométrique. Ressemblanceou similitude de deux raisons qui n’onc

?[u’un même exposant. Ainsi ces deux rai-ons de j à 6 , 6 c de 4 à 8 forment uneProportion géométrique, parce qu’elles ontle même exposant qui est 5. Comme l’ex-posant est égal de deux côtés, 6 c que lesigne = est établi pour marquer Légalité ,M. Leibniti exprime cette Proportion decette maniéré : 3 : 6 = 4 : 8. Cependantson caractère usité est celui-ci r, : H : : 4 : 8.( Foie^ CARACTERE. ) Telle est la façonde prononcer cette Proportion : Comme lepremier ejl au second , ains le troisième esau quatrième. C’est à-dire, autant de sois lepremier terme contient ou es contenu dans lefécond , autant le troiséme contient ou eslcontenu dans le quatrième. La doctrine de la.Proportion géométrique ,qu’on nomme, com-me je Lai deja dit, Proportions excellence,est d’une utilité universelle dans toutes lesparties des Mathématiques. Son usage estun exposé de cette doctrine qui justifiera ceque j’avance.

1. 1 Lorsque ([UaUC quantités font en Pro-

portion gécmettique , le produit des extrê-mes est égal au produit des termes moiens.Donc si le produit des extrêmes est égal auproduit des termes moïens, les quatre quan-tités seront en Proportion géométrique. Celase démontre ainsi.

On peut exprimer par a 6 c b les deux con-sequens. Mais comme l’antécedent de acontient a un certain nombre de fois, ilfera égal à 3 a, ou 1a, ou 4 a , ou \ a, ou ^ a ,6 c c. ou m , plus généralement m a , en sup-posant que la lettre m exprime combien defois l’antécedent contient le conséquent íz.Par la même raison le conséquent de b seran b , en supposant que la lettre n exprimecombien de fois l’antécedent contient sonconséquent. Donc ces quatre quantités seronttoujours ma: a : : n b : b. D’où il fuit ;1 °, que si m a : a : : n b : b, il faut quem — n. Exemple, m étant égal à 3,on aufa 3 a", a : : 3 b : b. Car on ne peutdire 3 a : a : : 4 b : b. Donc dans touteProportion géométrique ma: a : : m b : b.Mais le produit des extrêmes m a b est évi-demment égal au produit des termes moïensa m b. Donc dans toute Proportion géomé-trique le produit des extrêmes est égal auproduit des moïens.

2°. Si m ab=tn ba , m fera encore égal