P R O

â n puisque a b= b a. Donc ma: a : :m b ou n b: b. Donc si le produit des ex-trêmes est; égal au produit des moiens, lesquatre quantités m s, a,nb, b, tout enProportion géométrique.

3* Dans toute Progreffìon géométrique le produit des extrêmes est égal au produit desdîux termes qui font également éloignés deces deux extrêmes, ou au quarté du terme dumilieu , lorsque le nombre des termes estimpair.

Démonstration. Toute progression géo-métrique se réduit à celui-ci -r: a. a m. a rn.a m ! . a m \ a m\ &c. ; puisque a: a m : :a m : a m' : : a m' : a m } : : a m 3 : a m* : :a m* : a m', Sec., en supposant que a re-prefonte toute sorte de quantité, & quem represente combien de sois la seconde a mcontient ou est contenue dans la premiere.Or il est évident que le produit de a Sca m' est égal au produit des deux termes voi-sins amm Sc arrí, Sc que le produit desdeux extrêmes a Sc a m * est égal au quartéde celui du milieu a m 1 ; parce que le nom-bre des termes ed: impair, a m* étant icile cinquième terme.

4- Si plusieurs quantités a, b, c, d, Sec. fonten Proportion géométrique , avec autant d’au-tres quantités ma, m b, m c, m d, Sec. lasomme des antécedenS' </■+■ b - 4 - c - 4 - d, Sec.est à la somme des coníequens m a-\- mb-\-mc-¥-md, Sec. comme l’un des antéce-dens a est à son conséquent m a. En effet,le produit des extrêmes ma par a-\-b- i-c —H d est égal au produit des termes moïensm a-\- m b m c -\r m d par a ; car l’unSc l’autre est maa-\-mab-¥-mac-+-m a d, Sec.

z. S’il y a deux rangs de quantités en Pro-portion géométrique, leur produit Sc leurquotient feront ausiì en Proportion géomé-trique.

Exemple. ■< a '■ a m b b m.

C- c : c n : : d : d n.

Le produit de ces deux Proportions quiest a c : a m n : : b d : b m d n , est égal auproduit des extrêmes : dans le premier cas,abedmn est égal au produit des termesmoiens a b c d rn n ; Sc dans le second

cas le produit des extrêmes est Sc

c dn

i • , .. a m b

celui des moiens -

end

Proportion continue. Proportion où leterme conséquent de la premiere raison Scje terme antécédent de la seconde sontem tout-a-fait égaux, ou ont du moins unepjfme sajson > de sorte que chaque terme,

PRO 331

savoir le conséquent de la premiere raisonN l’anrécedent de la seconde doit remplirdeux places. Exemple. Premier cas. CetteProportion 4-8:18 : 16, peut s’exprimerpar trois termes comme 4 : 8 : 16 : ce quis’appelle une Médieté géométrique où le ter-me du milieu remplit deux places & qui seprononce de la maniéré suivante : Comme4:8, ainsi 8 est à 1 6. Dans le second casoù il y a 4 : 8 : : 16:31, on peut dire non-(eulement : Comme 4 est à 8 , ainsi 16 està 31; mais aussi les termes du milieuremplissent chacun deux places. D'où ilfuie qu’on peut encore l’exprimer de cettefaçon; comme 4 est à 8, ainsi 8 est à 16,Sc 16 est à 32. Lorfqu’une Proportion con-tinue n’a que trois termes -77 1, 2, 4, leproduit des extrêmes étant égal au produitdes termes moïens, il est évident que ceproduit fera égal au quarté du moïen. Eneffet, toute Proportion continue qui n’a quetrois termes , peut s’exprimer ainti ma : a-.\a: b. Or mab=aa. Donc le produit desextrêmes est égal au quarté a a du termemoïen. Une Proportion continue est uneprogression. ( Fote { PROGRESSION. )

Proportion discontinue. C’est la Propor-tion opposée à la Proportion continue. Danscelle-ci les raisons du premier terme au se-cond , Sc du troisième au quatrième sontégales, Sc dans l’autre les termes du milieuont une autre raison particulière. Telle estcelle ci : 4 : 8 : : 3 : 6.

Proportion par égalité. ( Proportio exccquo. ) On a cette Proportion lorsque dansdeux suites de quantités telles que A, B, C ,Sc D, E, F, A est à B comme D est à E, ScB : C : : E : F ; on a encore A : B : : E : F, ScB : C : : D : E ; on conclud que A : C : :D : F. Exemple. Soit une fuite 9, 6 , 3 , Scl’autre 12 , 8, 4. Or 9:6:112:8, Sc 6 :

3 : : 8 : 4. Donc par Proportion par égalité9 : 3 : : 1 2 : 4.

Proportion ordonne’e. On appelle ainsiune Proportion telle que A : B : : C : Ddont le conséquent de la premiere raison Best à une quantité C , comme le conséquentde la seconde raison E à une autre quan-tité F , c’est-à-dire , lorsque R : C : : F : D.Exemple. 9 : 6 : : 12 : 8. La Proportion or-donnée est 6 : 3 : : 8 : 4. Alors on peut direpar égalité : 9 : 3 : : 12 : 4.

Proportion trouble’e. C’est une Proportion.comme A : B : : D : E, où le terme du con-séquent de la premiere raison B est à uneautre quantité C , comme une autre F est àl’antécedent de la seconde raison D , c’est-à-dire, lorsque B : C : : F : D. Exemple. 9 •

6 : : 12 : 8 , alors U Proportion troublée fcr$

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