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6'$:: 14:11. Doit l’on peur conclure jpar raison d'égalité 9 : 3 ; : 14 : 8- >

Proportion harmonique. C’est une Pro-'portion où la difterence des deux premierstermes entre quatre quantités , est à la diffe-rCnce du troisième 8 c du quatrième , commele premier terme est au dernier. Celui dumilieu peut encore remplir deux places ,savoir celle du second 8 c du troisième enmcme-tems. En ce cas , la difference duj>remicfa& du second est à la difference dusecond 8 c du troisième , comme le premierest au troisième. Exemple. 2, 3, 6 , sont dansune Proportion harmonique , puisque I : 3 : :2 : 6. Par la même raiton 2, 3,6, 12 sontdans une Proportion harmonique ; car 1:6 : :2 : 12. Une Proportion harmonique peutdiminuer à l’insini » mais non pas aug-menter.

Par l’èpirhete qui accompagne cette Pro-portion , il est ailé de juger que c’est ici laProportion de l’harmonie. Et comme l’har-monie est fondée fur /expérience , cetteProportion doit aussi dépendre de là. Telleest en effet son origine qu’on a ainsi décou-verte. Trois cordes d’instrument égalementtendues , également grosses , 8c dont la lon-gueur est comme ces trois nombres 3, 4, 6,forment lorfqu’on les pince les trois princi-paux accords de la Musique, savoir l’octave,la quinte 8c la quarte. De deux de ces cor-des qui- font Tune à i’autre comme 3 à 6 ou1 à 2 , la plus longue fait deux vibrationsdans le tems que la plus courre n’en faitqu’une, ce qui forme /octave. Trois de cescordes qui font Pline à Pâture comme 6 à4 ou 3 à 2 , la pins courte fait trois vibra-tions , tandis que la plus longue en fait deux,c’est-à-dire , que la premiere en fait 6 pour4 de la seconde. Cet accord est nomméQuinte. Enfin , deux de ces trois cordes ,donc la plus courte /ait quatre vibrationsdans le tems que l’autre n’en fait que 3,forment étant pincées l’accord qu’011 appelleQuarte.

Donc par expérience ces trois nombresz, 4, 6 expriment la Proportion qui fait lesprincipaux accords de la Musique. Ils fontdonc en Proportion harmonique.. En effet,ìe premier 3 est au dernier 6 , comme ladifterence du premier est au second, qui est1, est à la difterence du second &c du qua-trième, c’ést-à dire de 4 à 6, dont la diffe-rence est 2 r ce qui s’exprime ainsi 3 : 6 : :4 — 3 : 6 — 4. C’est-à-dire 3 : 6 : : 1 : 2.Mais les quantités que ces deux expressionsmarquent font les mêmes 4— 3 = 1 &6—4=2.. On découvre par-iá que laProportion harmonique est composée de la

PRO

proportion arithmétique 8c de la propor-tion géométrique. C’est ainsi que ce qui neparoilsoit qu’u n sujet de Physique devienttout Mathématique.

Stifel a traité de la Proportion harmoniquedans son Arithmetìca intégra Liv. VI, Ck. 7.Wolf dans ses Elementa Matheseos , Tom. I.le P. Lamy dans ses Elemens de Mathémati-que ou Traité de la Grandeur en général , &c.F a S- 457 & suiv. de la troisième édition.Et M. De la Hire dans son Traité des Sec-tions coniques , Liv, I. a résolu differens-problèmes curieux fur des divisions harmo-niques d’une ligne.

Proportion contre- ha-rmonique. Pro-portion où les deux differences de troisquantités font telles que la difterence de lapremiere & de la seconde, est à la troisième,,comme la troisième quantité même est à lapremiere. Éxemple. Les nombres 6, 10,12forment une Proportion contre-harmonique ;pu-ifque 422 r: 12 : 6. Une Proportioncontre-hcfrmonique peut encore avoir lieuentre quantités savoir où la difterence du

< premier & du fécond renne est à la difte-rence du troisième & du quatrième , commel'e (quatrième au premier terme. Ces nom-bre» 14, j8, 26 & 28 forment donc uneProportion contre harmonique , puisque 4 v-2 : : 28 : 14. Stifel traite fort au- long: decette Proportion harmonique dans son Arith-metic.i intégra , Liv. I. Ck. 7.

PROPORTIONALITE’. Clavius Sc quelquesGéomètres appellent ainsi la Proportion.Grégoire de St Vincent donne ce nom ertparticulier à la proportion composée dedeux raisons des raisons ; 8c c’est dans ce sensqu’il a introduit la Proportionalité dans lesMathématiques. Cependant il faut que cesraisons ne soient pas semblables entre elles.Soient, par exemple , les raisons 3:6»2:10,4:8, y. 25 ; alors \ ^ | : £ ;

ou les raisons étant 6:3, 1022, 8:4,235 , alors ~ : ’-f : : | r

PROPORTIONNELLES. On caractérisé par c^terme en Mathématique des quantités quiont entre elles nne même raison comme 3,6, 12 : car 3:61:6 : 12. On les distinguede la maniéré suivante.

Proportionnelles par raison alterne.Quantités en proportion dont le ternie-conséquent de la premiere raison 8c l’anté-cédent de la seconde , peuvent être changésl’un pour l’autre. Exemple. Soit la Propor-tion 3. : 6 : : 9 : 18 , on aura en raison al-terne 3 : 9 : : 6:18 ; puisque quatre quantitésétant Proportionnelles , on peut dire alter-nativement ( Alternando ) comme le termeantécédent de la premiere raison ejl à Vante-