PREFACE DE L AUTEUR.

que

7 =

A x -+- A 1 .y 1 -h

A* x*

log. y

ou y = i -+- A log. y -4- \ A‘ log. / -i-. log. / -+- &c.

Il est aisé de voir que les séries de la première équation quidonnent la valeur du logarithme de y, ne sont convergentes quelorsque le nombre y , ainsi que la hase a du logarithme, sont pluspetits que l’unité. Dans les autres cas, il est nécessaire d’employerdes méthodes particulières pour tirer parti de l’équation. LeC. cn Lacrrantre a remédié à cet inconvénient de la formule , dans le bel

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ouvrage qu’il vient de publier sur les fonctions analytiques : pourcela, il suppose qu’au lieu de faire a — i + f et y = i -t- ç,

- m .. . n

on fasse a — i -t- c et y — i -h i ; et alors on a l’équation,

„ [ (y~ - .; - i (y “ - .; 1 -4-1 (y~ — , ; ■ — &c.]

log. y — —-—- -T -21-;•

m\_ (a m — ') — i {« m — I ; ’-+-T-^ " — >; 3 — &C.JD’où l’on voit qu’en donnant à m et à « des valeurs telles que

I *

y " — r et a m — i soient plus petites que l’unité, la sériedividende et la série diviseur deviendront convergentes l’une etl’autre, et qu’elles le seront d’autant plus qu’on aura pris des nombresplus grands pour m et pour n. Cette méthode, très-simple, est cellequi donne de la manière la plus abrégée le logarithme d’un nombrequelconque que l’on cherche isolément. Mais dans le travail de laconstruction des tables, où un logarithme déjà trouvé peut servir àtrouver les logarithmes suivans, la première équation transforméepar des substitutions donne des séries plus faciles à calculer.

Soit d’abord y — i = ---- : mettant cette valeur dans

n* — 3 n

"3

l’équation, et supposant a — t —\a — t

— &.C.

M,

on aura,

log.

n* — 3 n H- *

ii=-L. f f - —J*-&C.1.

n A 1 U „> 2 < n* _ 3 J * ' n* - 3 J J

, on aura ,

Soit ensuite y — t --

n 1 — j tt

log. ” 17 . 1 !’ - 2 = _L. r, /—i_ ) -1 (- 1 — )—1 /—i—- &C. 1 ;

° n *— 3 n M L 'u*—\n' l « 3 — xn' * ' n* — xn' J

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