DES MATHÉMATIQUES. Pakt. I. Liv. III. i53de hasard, que Fun des restans est un espace rectiligne j tandisque l’aulre est une ligure curviligne, qui lui est conséquemmentlégale.

Nous remarquerons ici en passant que les géomètres modernesont extrêmement enchéri sur cette espèce de jeu géométrique ;car ici l’on voit que les deux cercles, dont les arcs forment lalunullc, sont clans le rapport de 2 à 1 ; mais avec deux cercles,dont le rapport sera de 3 à 1 , ou de 3 à 2 , de 5 à 1 , ou deô à 3 , on peut construire, au moyen de la règle et du compas,ou de la simple géométrie élémentaire, une lunulle absolumentquarrahle. D’antres rapports , comme de 4 à 1 , ou de 4^3,ou de 5 à 2 , ou autres nombres quelconques , exigent une géo-métrie d’un ordre supérieur.

Les géomètres modernes se sont aussi plu à trouver des por-tions de la lunulle d’ Hippocrate retranchées par des lignesdroites, qui fussent absolument quarrables. La plus simple estla suivante : tirez dans la jíg. 111 } du centre C une ligne quelconqueC F G, coupant les deux cercles en F et G. Tirez la corde BG ,et du point B la perpendiculaire EH sur CG. Alors le trianglemixtiligne BFG sera égal au triangle rectiligne B GFI, lequeltriangle on démontre être lui-rnême égal au triangle B I C.

Cette découverte CC Hippocrate lui inspira, dit-on, la confiance ^de trouver la mesure du cercle même , et on lui attribue unraisonnement qui, étant le premier exemple connu de paralo-gisme occasionné par i’envie de résoudre ce problème, mérited'être connu. Hippocrate supposoit un demi-cercle A D E F ,dans lequel il inscrivoit trois fois le rayon en A D, D E, EB.

Puis sur chacune de ces cordes il décrivoit un deini-cercle, etun quatrième F égal, à part. Enfin, il raisonnoit ainsi :

Les quatre demi-cercles AGD, D E FI, EIB, /G. IV > et F,étant chacun le quart du demi-cercle ADLB, lui sont égauxpris ensemble. Otons de part et d’autre les petits segmens A G D,

D FIE, EÍB, on aura d’un côté la ligure rectiligne À DEB ,égale ara trois lunulles, plus le demi-cercle F. Si donc en vertude la quadrature de la lunulle déja trouvée, on ôte de la fi-gure rectiligne la quantité de ces trois lunulles assignables enfigure rectiligne, le restant sera encore une figure rectiligne,égale au demi- cercle F.

Ce raisonnement est tout-à fait ingénieux, mais il n’en estpas moins vicieux. Son vice consiste en ce que les lunulles em-ployées ici ne sont pas semblables ìi celle qu ’Hippocrate a voltfait voir être égale à un triangle rectiligne. Car cgHe-ei étoitbornee d’un côté par un demi cercle , et de 1 autre par un quartde cercle. Celles employées clans le raisonnement ci-dessus sontbornées par un deini-cercle, et un sixième de circonfórer■

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