DES MATHÉMATIQUES. Paut. I. Liv. III. 17Sdonc AEB, son intersection avec la parallèle CD, donnerala solution du problème ; car ce point d’intersection, entantqu’il appartient au cercle, donnera l’angle au sommet egal àl’angle désiré ; et comme appartenant à la ligne parallèle à labase , il déterminera un triangle de la grandeur donnée. Letriangle trouvé par ce moyen satisfera donc aux deux condi-tions imposées ; s’il n’y a aucune intersection , comme lorsquela parallèle à la base sera trop éloignée pour couper l’arc decercle, alors le problème sera impossible ; si elle le touche ,il n’y aura qu’une solution. Si elle le coupe, ce qu'elle nepeut faire qu’en deux points, il y aura deux triangles qui satis-feront aux conditions du problème. A la vérité, le secondn’estici que le môme situé en sens contraire, mais, dans cl’autrescas, les solutions , lorsqu’il y en a plusieurs , sont entièrementdifférentes.

En analysant le procédé de cette méthode, on volt que l’artde résoudre un problème déterminé par les Lieux géométriques,consiste à le dépouiller d’abord d'une de ses conditions , cequi le rend indéterminé, c’est-à-dire, susceptible d’une infi-nité de solutions. C’est ce que nous venons de faire en ne con-sidérant d’abord le triangle cherché q ne comme ayant une airedéterminée , d’où nous avons d’abord tiré un lieu géométrique.On Temet ensuite cette condition dans le problème, en le dé-pouillant d’une autre , comme nous avons fait, en n'ayant égardqu’a celle de faire que l’angle du sommet fût égal à un angleassigné ; ce qui nous a donné le second Lieu. Or il est évidentqu’aíin que le problème satisfasse aux deux conditions, il fautque le point cherché soit à la fois dans l’un et dans l’autre.Ce sera donc leur intersection, ou leurs intersections , qui ledétermineront. S’il n’y en a aucune, U est que les conditionssont répugnantes et incompatibles entr’elles. Un des exemplesde l’analyse ancienne qu on donne dans la note A , ponten servir pour les lieux géométriques, et leur usage dans lesproblèmes déterminés. H ou s l’avons môme choisi de cette nature,à dessein et dans la vue de ne pas trop multiplier les notesou les exemples. Nous y renvoyons nos lecteurs.

XVI.

Ce fat seulement vers le temps de Platon que le problèmede la duplication du cube acquit la célébrité dont il a jouidepuis parmi les géomètres. A la vérité , il leur étoit déjàconnu, Hipjìocrate de Chio l’avoit- réduit (1) à la

(x) Procl. in I. Eucl. 1 . 3, p. 1,