sio HISTOIRE

modernes, Clnvius , Wal.lìs , le P. Saccherl, dans un ouvrageparticulier ( i ), et divers éditeurs ou commentateurs d 'Euclìde.On ne s’imagineroit pas combien il est difficile de le faire enn’employant que ce qu 'Euclìde a démontré dans ses 26 pro-positions précédentes, et quel échafaudage de démonstrationscela exige.

Enfin , ct c’est ici le grand crime que les géomètres relâchésfont à Euclìde, II s’agit de sa définition des quantités propor-tionnelles qui est la 5 e . du V e . livre. Euclìde dit, que quatregrandeurs sont proportionnelles on en même raison, lorsqueprenant des équimultiples quelconques de la première et de latroisième , ils sont égaux, ou toujours plus grands , ou toujoursmoindres que des équimrdtiples de la seconde et de la 4 e j c’est-à-dire que des quantités seront appellées proportionnelles, si deséquimultiples de la t crc . et de la 3 e . sont égaux à des équimultiplesde la 3 e . et de la 4 e . , ou , dans le cas où cette égalité ne pour-roit avoir lieu » si du moins , quelques équimultiples que l’onprenne de la i pre . et de la 3 e ., ils sont toujours plus grands quedes équimultiples semblables de la 2 e . et de la 4 e - ou bian toujoursmoindres.

J’observerai d’abord que si Euclìde n’eût pas voulu généra-liser sa définition, et les démonstrations qui en son t la. suite,il se seroit borné à dire que quatre grandeurs sont en mêmeraison, quand elles sont telles que des équimultiples semblablesde la i erc . et de la 3 e . sont respectivement égaux à des équi-multiples semblables de la 2 e . et de la 4 e . Et je me crois fondéà dire que c’est là la manière la plus simple et la plus com-mune de comparer ensemble des grandeurs inégales» En effetparcourons nos campagnes ; verrons-nous dire à nos paysansque la mesure de Paris est à celle de Meaux , par exemple,comme 20 à 21 ? Non, ils diront que 21 mesures de Paris enfont 20 de Meaux. Ouvrons tous les livres de commerce où il ya des rapports de poids, d’auuages , etc. ; on y lit que 100 aunesd un tel endroit en font io 3 , par exemple, d’un autre; que <50livres ou ío quintaux d’un tel pays en font tant d’un autre.Ainsi la définition d 'Euclìde, en tant qu'elle concerne des quan-tités telles qu’un multiple de l’une puisse égaler un multiplecl’une autre, est non-seulernent exacte, mais conforme à la ma-nière la plus triviale de s’expriiner.

Mais il y a dans la géométrie une multitude de grandeurs,telles que jamais un multiple quelconque de l’une ne peut égalerun multiple de l’aulre. Telles sont les quantités incommensu-rables. II falloit les comprendre dans la définition , et c’est ce

(j) Ewclides ab omni naevo viadicatus, etc. Mediol. i/Zi, in-4®.