DES MATHÉMATIQUES. Part, I. Liv. IV. aa 5cônes de même hase et de même hauteur. G’est-là qu’il démon-tra pour la première lois que le conoïde parabolique est égalà une lois et demi le cène de même base et même sommet,ou la moitié du cylindre de même base et hauteur; que leconoïde hyperbolique , et ses segmens sont aussi au .cylindreou au cône de même hase et même hauteur, en raison donnée.Toutes ces déterminations sont aujourd’hui faiuilièr*;» aux géo-mètres : c’est pourquoi, a lin d’abrégcr, nous nous dispensons deles énoncer, de même que plusieurs autres propositions qu'il ydémontre. Mais nous ne saurions omettre de remarquer quele tour que prend Archimède est extrêmement profond et ingé-nieux. A la vérité il est en même-temps si difficile, q ne jesuis assuré que dans ce siècle, où la méthode, ancienne estfort négligée, plus d’un géomètre renonceroit à le suivre.

Parmi les découvertes géométriques d ' A.rchimède, il n’en estaucune qui lui fasse plus d’honneur dans i’esprit des mo-dernes , que celles de la quadrature de la Parabole et despropriétés des Spirales. A te hi me de parvint à la première dedeux manières différentes; l’une est mécanique, non dans lesens de quelques modernes tout-à-fait étrangers en géométrie,*qui se sont imaginés qu ' Archimède avoit effectivement com-paré une parabole avec un espace rectiligne en les pesant l’uncontre l'antre. Nous voulons dire seulement par-là que Tunedes deux manières dont Archi mède parvint à sa découverte ,est fondée sur les principes de la statique, mais d’une statiquetoute intellectuelle , pár laquellb il découvre ce qui sc pas$e-roit, si ces espaces étoient pesés à l’aide d’une balance telle quela conçoivent les 'mathématiciens. Ce procédé, qui fut celuipar lequel il découvrit d’abord le rapport de la parabole autriangle inscrit, doit lui fairej d’autam plus dïionneur quïl estplus détourné et plus extraordinaire. U autre méthode <XArvki-mède'est purement géométrique et plus directe. II y emploiela sommation Ahurie progression géométrique décroissante : ilinscrit uri triangle clans la parabole, puis un antre dans chacundes deux segmens restans. il conçoit qn’on en lait autant dansles quatre, les huit, les seize autres, etc. qui naissent de cetteespèce de hissée t ion continuelle, et il trouve que le premiertriangle, les deux inscrits dans les segmens restans , les quatresuivans sonnent une progression comme 1,7, ~g, etc..11 chercheà. déterminer la somme de cette progressionet il trouve pa/*un procédé facile à appliquer à toute autre, qu’eiie pst 1 -t;ainsi la parabole qui est la somme de touá ces triangles, estles -í du triangle inscrit, ou les ~ du parallélogramme circons-crit. C est-là le premier exemple de véritable quadrature d’unecourbe ; car celle de ia lunullc d ' Hippocrate ct plusieurs autre-îTome I. F f