a 7 S NOTES

jours la mène , quelle que soit lu position de cette lignc \ ce sera un Porisme.Nous avons choisi à dessein cette proposition , parce que , en même-temps qu’elleest facile, elle présente une assez curieuse propriété du cercle. Considérée sousce dernier aspect, on la résoudrois au moyen deTanalyse suivante.

Que le point E soit le point cherché, et soit du point E abaissée sur la ligneAB, la perpendiculaire ED prolongée jusqu’à sa seconde intersection avec lecercle en H. Que FEG soit une de ces lignes qui doivent jouir de la propriétéénoncée; eníìn soit tirée «lu point G la ligne G H. Cn raisonnera ensuite de la sorte.

Puisque les lignes FEG , D EH sont coupées par le point D, ensorte que lerectangle F EXE G, est égal au rectangle D E X E H, on aura ce rapport. E Dest à EF comme EG à EH; d’où il suit que les triangles EOF, EG H sontsemblables , et en tirant G H, E D à F D , comme E G à G H. Or l’angle enD est droit, donc l’angle EGH est droit aussi, et devant être droit dans tonsles autres points de Tare circulaire E G H, cet arc est un demi-cercle, et laligne H E un diamètre, et ensin le point E dans i’intersection de ce diamètreavec le cercle.

Voici un Porisme du même genre. ZTn point A étant donné , ( fig. 50) et uncercle auquel sont tirées les lignes A F, AH, etc. il y a au dedans ducercle un point E, duquel tirant les lignes E F, E H, etc. il y a marne raisonentre les lignes A F et F E , qu’entre les lignes A H et 11 E, etc.

Que le point cherché soit E, et soit tirée la ligne A E ; soit fait ensuitel’angle EFC égal à F AE, et que C soit le point de rencontre de F C avecA E prolongée.

L’angle E F C étant égal à F A C, et l’angle FCA étant commun aux deuxtriangles FaC, EFC; ces deux triangles, sont semblables, et l’on a A F:FE .. A C : C F : : GF : CE, et à cause de cette dernière proportion conti-nue, o* a encore A C, : : C F 1 : A C : C E. Or en vertu de la première, ona A F» : F E 1 : : A C 1 : C F 2 , d’où il suit que A F’ 1 : E F 2 : : A C : CE.

Du point H soit tirée au point C la ligne H C. Par une propriété des trianglesdémontrée ailleurs,ona Cil 1 X AE +AH 1 X = HEi x AC -f ACX CE X AE. Or par l’hypothèse du porisme, AH 2 : HE 1 : ; AF a : FE», etl’on a trouvé plus haut A F, : F E 2 : : A C : C E. Ainsi l’on aura A H* : H E 2 : :A C : C E, et AH» X C F, =: A E» X A C. Ainsi ôtant de quantités égales desquantités égales, on aura HC* X AE = A C x C F. X AE,et conséquem-ment HC» = AC X CE. Or on a trouvé également AC»; F C 2 : : A C XC E ; donc F C et H C sont égales, et pareille chose arrivant à l’égard de toutautre point de la circonférence, C est le centre du cercle donné. Ainsi C K estaussi un rayon, et puisque CKs =z CE X AC, il s’ensuit que C A, CK,C E sont continuellement proportionnelles. Ainsi le point E est donné.

Ces deux porismes fourniílènt des exemples de ceux qui avoient donné lieuà la définition proposée par quelques géomètres,'que Pappus appelle modernes ,et suivant laquelle un porisme étoit une proposition qui ne différoit que parl’hypothèse, d’un théorème ou d’un problème local. Cela est vrai des porismesei-dessus ; mais on seroit dans l’erreur, si l’on croyoit qu’ils fussent tous de cetteespèce, et Pappus désapprouvoit les géomètres ci-dessus, en ce qu’ils donnoientpour une définition du porisme un symptôme particulier à une espèce dentr’eux.En voici, par exemple, quelques-uns, où il n’est nullement question de propriétéslocales on d’invention de lieu.

Un cercle étant donné ( Fig. 51.) et un point A sur un de ses diamètres pro-longé , il est au dedans du cercle un autre point , comme E, tel que menantpar ce point une ligne quelconque B C , et ensuite de A les lignes AB, A C,coupant de nouveau le cercle en F et D ; i°. la ligne DE passera par le mêmepoint E ; o. 9 . que les lignes\C D , B F seront parallèles , et les angles D A G tG A F égaux.