DU QUATRIÈME LIVRE. a 79

On trouve par une analyse assez compiiquée que le point E est tellementsitué que AH : A G : : H £ : E G.

Voici encore un purisme du même genre, ou si l’on veut, un théorème rangédans cette classe par les anciens, et beaucoup plus difficile ( fig- )•

Si l’on a trois lignes partant d’un même point comme d D, A E,B A C, etqu’on prenne sur la dernière deux points quelconques B et 6’, desquels on tireav. point O d’une autre ligne donnée de position FG, les lignes B O, OC,coupant les deux premières AI), AE en M et N ; que l’on joigne M,N, toutes les lignes semblables passeront par un m c me point L , qu’ortdéterminera f acilement en tirant deux lignes à un autre point H de FG ,et joignant les deug nouveaux points d’intersection P, Q, par la ligne p Qqui coupera la première en L.

On en peut voir l’analyse et la démonstration dans le livre de M. Simson.

Terminons cet article par un purisme général et des plus abstrus, dont ledéveloppement, dans tous les cas, paroît avoir fait la principale partie du pre-mier livre des Porismes d 'Euclide ( fig. 53 ).

Si l’on a quatre lignes AB, C D, A F, BE, qui se coupent dans lescinq points A, B, C, D, G, (dans lequel cas deux , comme AB , C D,seront parallèles ; car autrement et les autres ne l’étant pas , il y auroit sixintersections. On suppose encore que par chaque point âe section ne passentpas plus de deux lignes ), et que deux de ces points soient fixes oudonnés sur la ligne AB, si des trois autres , deux se meuvent sur deuxlignes droites HI, K L, le troisième, G, se trouvera aussi ou se mouvrasur une ligne Gg donnée de position , ou en style de géométiie ancienne ,tanget reccam positione datarn.

Si l’on a quatre lignes, dent aucune ne soit párallìle à une autre , danslequel cas elles se couperont cn six points ; que trois da ces points d’inter-section soyent sur la même ligne, et que des trois restans, deux, commeci-dessus , se trouvent continuellement, ou se meuvent sur deux droites don-nées de position, le sixième sera aussi sur une droite donnée de po-sition.

Généralement enfin , si l’on a cinq ligms ou plus, se coupant (sans quenéanmoins plus de deux passent par le marne point, et pourvu que nullene soit parallèle à une autre'), le nombre da leurs intersections sera cxprtrnêpar le nornbre triangulaire, dont le côté sera le nombre des lignes moinsun ; ainsi, dans le cas de cinq lignes, on a quatre points d’intersectionsur une même droite, et dix en total ; pour six lignes ou aura cinq points~d’intersection sur la même, et quinze en total, etc.

Maintenant si ces quatre ( ou cinq ) points d’intersection sur une mêmedroite sont donnés , et que des restans au nombre de six ( 011 dix ) , trois( ou quatre ) se meuvent sur autant de droites données de position, chacundes autres, savoir trois pour le cas de cinq lignes , (ou quatre) pour celuide six lignes ) touchera une ligne droite donnée de position.

■ Sur ce simple exposé que nous ne pouvons étendre davantage , on peutjuger combien épineuse et savante étoit cette doctrine des porismes, et quelsgéomètres étoient ceux qui l’ont créée ou avancée , comme paroît être Euclide ,qui me semble par-là ne céder en rien aux Arckimcde et aux Apollonius, simême ces théorèmes- ne sont pas plus compliqués qu’aucun des coniques de cedernier. On voit aussi par-là combien est peu satisfaisante la notion des porismesdonnée dans VEncyclopédie, tant ancienne que récente', où on les tait syno-nymes avec lemmes. Mais sur tout cela, nous ne pouvons qu’inviter les curieux