a8o NOTES

île ces vestiges île l’ancienne géométrie, de recourir à flou vrage cité de M, RobertSiméon. v .

Je remarquerai encore que les derniers théoièmes ont de l’afùuité avec ce queNcuton , Maclaurin et Braìken liidge ont trouvé sur les lignes décrites pardes intersections d autres lignes, pendant qu’on promène un certain nombre deces intersections sur des lignes données.

NOTE .C.

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Sur les Loca ad Medictatcs d J E R a t o s t h È n e.

!N^OUS croyons pouvoir annoncer avec quelque confiance notre divination surJes Loca ad Mkedijtates d’ Eratosthòne , objet sur lequel personne , à notre con-noissaace, 11e paroît avoir formé de conjectures ; mais pour établir les nôtres , il estd’abord nécessaire a’observer qt/e d’après Fappus, "ces lieux ad medìcîatesétoient des sections coniques. On sr.it d’ailleurs que le nom de Mcdiété écoit,cljez les anciens, commun aux trois proportions nommées chez nous arithmé-tique, géométrique et harmonique. 11s ne donnoient 1s nom. de proportion qu’àla raison géométrique.

Cela entendu, voici quelques théorèmes qui nous paroisssnt avoir pu fairepartie, du livre d’ Eratosthòne-, si nous nous trompons, ce seront du moins desthéorèmes coniques, que je ne crois pas avoir été remarqués. Nous allons , pourabréger nous énoncer à-peu-près à ia manière de Pappus.

1" Soient ( sig. 54 ) deux droites AB, C D , tirées d’une manière quelconque,'et la ligne GH prise pour axe ; en.in la ligne OF tirée sous un angle quelconquesur G H- Que le point P {ou p, on t, etc.^) soit tel que OP, ( ou O p, o uO -r), soit à l’égard de OF, OE en médieté continue arithmétique, géomé-trique ou harmonique, c’est-à-dire , qu’on ait O P : O E : : O E ; O F , ou O E :Op : Op : O F , ou OE : OF :: OF : O ■r, en raison quelconque arith-métique, ou géométrique, ou harmonique, je dis que les points "P , déterminé*semblablement (ou p , ou t) sont dans une section conique , n’en excluant pasla ligne droite.

1®. Soient tirées ( sig. 55) trois lignes A B , C D , G H , et un axe L G A prisà volonté , enfin la ligne O F K tirée sous un angle quelconque sur C A ;que le point P soit tel que l’on ait O P : O E : : O F : O 1 , en médiétéquelconque arithmétique, géométrique ou harmonique, tous les points P, ainsisitués, seront dans une section conique de position donnée. II en sera de mêrriades points p, cr, <sr, si l’on a O E ; O p : : O F : 01 , ou OE; O F . : O sr,OI, ou OE:OF : : 01 : O <w, ces points p , t , , dis-je, seront aussi dans

une section conique.

Ces théorèmes sopt faciles à démontrer au moyen de l’anqlysc moderne ; caril est aisé de voir que les dimensions des co-ordonnées ne sauroient jamais excéderle second degré. Mais on sentira facilement aussi qu’à les étendre à la manièredes anciens, à en examiner tous les cas, il y avoir matière à deux livres assezamples, dont l’un pouvoir contenir le développement du premier théorème, etl’autre celui du dernier. II y a même quelques autres théorèmes de ce genre' quej’omets pour abréger.

ÏTOTE,

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