â NOTES

On voit par ce procréa que tous tas nombres antérieurs à celui q u'on prendpar ordre pour diviseur, et qui 11e se trouveront pas pointés, seront des nombrespremiers; ainsi ncus avons ici 3 , 5 , 7, 9, u , 1 3 , pour nombres premiers , et labesog r e ira même ensuite beaucoup plus rapidement, parce que, à mesure quel'on avancera, ìes enjambées, pour ainsi dire, seront plus grandes; et j’imagir.equ’cn moins d’un quart-d’bëure , 011 pourroit assigner tous les nombres premiersentre l’unité et ioco.

II faut convenir que cette méthode est indirecte ; mais personne n’a pu en-core en trouver une directe; on s’est borné à donner quelques symptômes tlts^ nombres premiers. Tel est celui annoncé par Leibnitz ; savoir, que tout nombrepremier est un multiple de 6, augmenté ou diminué de l’imitc. Ainsi les seulsnombres qui puissent être premiers, quoique tous ne le soient pas, sont ceux-ciaprès 3'; savoir, 3, 7; n, -Z ; 17, 'y; -. 3 , 2.3 ; 19, Zi,Z; , 37; 41 , 43 ;47, 49; 33, 55; 39 , 61 ; 65 , 67; 71, 73 ; 77, 79' etc., où peut-être ontrouvera quelque jour une loi qu’y suivent les nombres premiers.

Je reviens au crible d’ Eratosthme , en invitant les lecteurs curieux de ces anti-quités géométriques, à lire le mémoire de M. Horsley , sur ce sujet, dans levolume des transactions philosophiques , année 1772 ; ils y trouveront cette ma-tière traitée avec plus d’étendue , et des observations particulières et intéres-santes, auxquelles les bornes que nous nous sommes prescrites, ne nous per-mettent pas de donner place ici.

NOTE. E.

Sur les démonstrations acl stbsurdum , ou la méthode d’exhaustionemployée par Archiinède, et les géomètres anciens.

Nous allons donner ici, comme nous l’avons promis dans l’article V de celivre , un exemple de la méthode employée par Archiinède , et les géomètresanciens, pour la dimension des figures curvilignes. En voici deux exemples:l’un tiré de la géométrie, élémentaire, et l’autre d’une géométrie plus relevée.

Supposons qu’on voulût démontrer que le cercle est égal au rectangle de lamoitié de la circonférence par le rayon. Pour cela, on établit d’abord, ce quiest facile, qu’on peut inscrire et circonscrire au cercle deux polygones, dor.tchacun n’en différera que d’une quantité moindre que toute quantité don-née. Cela établi, voici.le raisonnement des anciens. {Voy.Jìg. 36.)

Si le cercle n’est pas égal au rectangle ci-dessns, il est plus grand ou moindre.Supposons-le d’abord plus grand, et que ce dont il difière de ce rectanglesoit la quantité A% si petite qu’on voudra. Circonscrivez au cercle un poly-gone qui en difière de moins que cette quantité. Ce polygone sera égal au rec-tal gle de son dcmi-contour par le rayon du cercle. Or le contour de ce poly-gone est plus grand que la circonférence du cercle; d’où il suit que le rectanglede ce demi-contour par le rayon, est nécessairement plus grand que le rec-tangle de la demi-circonférence par le même rayon. Mais l’on suppose le cercleplus grand, de la quantité A, que ce dernier rectangle, et le rectangle dudemi-contour du polygone circonscrit, ne diffère du cercle que de moins quela quantité A. Ce dernier rectangle est donc moindre que celui de la demi-circonférence par le rayon ; d’où il suit que la demi-circonférence servit pli»