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grands que le demi-contour du polygone circonscrit. Or cela est absurde; lecercle n'est donc pas plus grand que le rectangle du rayon par 1* demi-cir-contérence.

On prouvera par un raisonnement semblable, et au moyen d’un polygoneinsciit, que le cercle n'est pas moindre que le rectangle susdit : donc il estégal à ce rectangle. Tel est l'esprit, sinon les mots préciscment, de la démons-tration d ’Archimìde , ou des anciens. Car sûrement iis n’ignotèrent pas jus-qu’au temps à’Archimède, que Je cercle éroit égal au rectang e du rayon parla demi-circonférence.

Voici le secoíid exemple de cette méthode employée par Archimàde , danîson livre de Conoidibus et Spheroidibus , pour démontrer que le conoide para-bolique est égal à la moitié du cylindre, de même base et mên e hauteur.

Pour cet effet, Archiméde propose d’abord , et démontre ce lemme. Si l’ona une suite de grandeurs arithmétiquement croissantes , dont la dijjerencesait égale à la moindre , et que l’on prenne un égal nombre de grandeurstoutes égales d la plus grande , la somme de celles ci sera moindre quele double de celle de toutes les premi.res , mais elle surpassera le doublede cette somme diminuée de la plus grande. '

II montre ensuite qu’un conoide parabolique étant donné, {jìg. 5j. ) on peut tou-jours lui inscrire une suite de cylindres, comme V E, TG, etc. et lui en circons-crire d’autres, comme D B, E 1 E, etc.; de sorte que la somme des cylindresinscrits ne diílère de celle des circonscrits , que d’une quantité moindre qu’urrequantité quelconque donnée. Cela est évident, car tous les excès des cylindrescitconscrits sur les inscrits correspondans, sont visiblement égaux au premier cir-conscrit DB, qu’on peut faire moindre que tout ce que l’on voudra. Enfin ilest facile de voir que tous ces cylindres , les inscrits comme les circonscrits, sesurpassent arithmétiquement ; car étant de hauteurs égales, ils sont comme leursbases, ou comme les carrés des denri-ordonnées XO, VM, etc., qui sontcomme les abscisses SX, S Y, etc. qui se surpassent également, et dont ladifférence est égale à la plus petite SX.

Cela démontré, que le conoide ne soit pas la moitié du cylindre de mêmebase et même hauteur; mais qu’il soit, si l’on veut, plus grand de la quan-tité A ; qu’on inscrive ct qu’on circonscrive au conoide les suites de cylindresdécrits ci-dessus, dont la différence »oit moindre que A ; le conoide surpasseradonc la somme des cylindres inscrits de moins que A; et puisqu’rl surpassede A, le demi cylindre de même base et même hauteur, il suit que ce demi-eylindre est moindre que la somme des cylindres inscrits. Mais la demi-sommede tous les cylindres égaux, qui font le cylindre A Z, surpassé la somme detous les circonscrits, moins le premier D B, et cette somme des cylindres cir-conscrits, moins le premier D B, est égale à la somme des inscrits; donc lamoitié du cylindre A Z est plus grande que celle de tous les inscrits. Or ona fait voir, en vertu de la suppposition, qu’elle étoit moindre. Ainsi cette sup-position est fausse , et le conoide ne peut être plus grand que la moitié ducylindre A Z. 11 est facile de démontrer par un raisonnement semblable qu’il n’estpas moindre. II est donc égal à la moitié.

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