NOTES

NOTE. F.

Sur les Loch plana d 'Apollonius,

Olfci quelques-une* des propositions les plus remarquables’ des loca plan0d’Apo!loniu«.

1*. Si d’un point P [Jtg- 58 ), partent plusieurs paiies de lignes P A, P a ; PB,Pi, etc., faisant des angles constu. s A P a, B P b, etc. , et que la raison deP A à P a, de P 13 à Pi, etc. soit toujours la même, 011 que le rectanglede P A X P • , P P X P 5 , etc. soit toujours le même, si les points A , B , etc.,eont dans un lieu pian, c’est-à-dire, sur une ligne droite ou circulaire, lesp i .t 2, A, seront également dans un lieu plan, c'est-à-dire, dans le premier‘cas, s.ir une ligne droite, et dans le second, sur un arc de cercle.

2 V . 11 en sera de même [fig. 59 ), si les angles P-Aa, Plié, P(c,etc.,étant [ C s mêmes, cn a la raisin de PA à Aa, PBàBé, etc. , toujours iamême, cu le rectangle de P A par Aa, P B par Bé, etc., toujours lemême.

3 0 . Si l’on a tant de lignes droites données de position qu’cn voudra (fig.£0 , et qu’on propose de leur tirer d’un point P, alitant de lignes droites sousdes angles donnés, entente que la somme de deux soit à la troisième ( s’.l yen 4 trois)i ou la somme de deux à celle des deux autres (s’il y en a quatre),etc. en raison donnée, le point P et tocs ceux qui résoudrent le problèmeseront dans un lieu pl..n, ligne droite cu circulaire.

Ce sera la meme chose, si le rectangle de deux est égal au carré de latroisième, ou le rectangle de deux égal, ou en raison donnée avec le rectangledes deux autres.

4°. Si d’un point P donné à une ligne droite ABC ( fig■ 61 ) , 011 mène leslignes PA,A<i;PB,BéjPC,Cc, e:c., faisant les angles P A a ,P h b ,V C c,etc. égaux, et que P A soit à A«, PB à Bi, etc., en raison donnee, tonsles points a, b, c, etc. ainsi déterminés, seront'à une ligne droite; et si ABCest un cercle, les points a, b , c, seront aussi à un cercle.

3°. Si des d,eux poi: ts donnés A et B [Jtg. 62 ) sont tirées à un troisième P ,des lignes A P, BP, qui soient dars une raison quelconque d’inégalité, ce pointP et tous les semblables p , cr, etc. 0Ì1 aboutiront des Ignés tirées de A et Bdans la même raison , seront dans une circonférence circulaire.

6®. On sait que tous les triangles , où la somme des carrés des côtés estégale à celui de la base, ont leur sommet dans un demi-cercle; cela est err-er te vrai, lorsque la somme des carrés est toujours la même, quoique plusgrande ou moindre que celui de la base. 11 y a seulement cette différence que ,dans ce dernier cas, les points A, B, extrémités de la base, aa lieu d’être auxextrémités du diamètre, sont au dehors ou au-dedans ; savoir, au-dehors , si latomme des carrés est moindre , et au-dedans , comme en a et b, si elle pstplus grande que celui de la base ( 7%. 63 ).

7°. Si ayant un point D quelconque , et une ( fg- 64 ) droite BAC donnée deposition, on tire tant qu’on voudra de lignes r\DG, B DE, CDF, etc.,et que les rectangles deAD, DG ; BD, DE; CD, DP, etc., soient égaux,Jeí points D, E, G, F, etc. seront dans une circonférence circulaire.

£c si la ligne BAC esc elle même un cercle, comme dans la fig. 65 , l«e