*86 NOTES

Soyent deux lignes infinies M N , P Q , données ( Jtg. 67, 63 , ) sur un menteplan, ijui soyent parallèles , ou qui se coupent en un point. Sur chacuned’elles soit pris un point quelconque , A li ; enfin , soit hors de ces lignesun point donné O. On demande de tirer de ce point une ligne , rencontrantles deux premières en C et D, dc manière que les segmens A C, B D ,compris entre ses intersections C, D , et lus points donnés A , B, soyent dansune raison assignée de M à N. .

Or il est aisé de voir de combien de cas différent ce problème est suscep-tible ; car d’abord si les lignes sont parallèles, le point Ô peut-être au-dehors011 entr’elles. II peut aussi, dans chacun de ces cas, retrancher les segmentdes deux lignes, ou tous deux à droite des points donnés, ou tous deux àgauche, 011 l’un à droite, l’autre à gauche, de deux manières. Si les lignes secoupent, le point donné peut être situé dans l’un des angles quelconques, etles deux lignes peuvent être, coupées de cinq manières diíiérentes, relativementL la posltidn de la ligne coupante à l’égard des points donnés, qui peuventêtre pris eux-mêmes ou sur le point d’infeisection , ou l’un d’eux , ou aucund’eux. De toutes ces combinaisons enfin résultent pour le premier livre d’ Apol-lonius , qui comprend les cas des lignes parallèles, et ceux où les lignes secoupant, les points pris sur elles, sont celui d’intersection , 14 cas différens ;et pour le second livre, 63 , dont quelques-uns nécessitent des déterminationsparticulières.

• On demandera peut-être à quoi servoit la solution d’un pareil problèmesuivi, pour ainsi dire, dans toutes ses ramifications. Nous répondrons quec’étoit ainsi que les deux suivans des espèces d'Elémens de l’art analytique,ctant moins faits pour les géomètres formés , que pour ceux qui, dans le systèmede la géométrie ancienne, cherchoient à acquérir, comme dit Pappus , la fa-culté inventrice en géométrie; et en effet, quiconque voudra parcourir ce livred’ Apollonius , y verra une analyse et une méthode dignes de la peine qu’aprise M. Halley , de le mettre au jour avec ses excellentes notes.

H. I I.

Le livre de Sectione spatii a une extrême analogie avec le précédent. Cesont les mêmes suppositions de lignes données de position , de points déter-minés sur elles, de point pris au-dehors; mais ici la ligne tirée du pointdonné, doit retrancher des segmens qui, au lieu d’être en raison donnée,doivent former un rectangle égal à| un carré donné, ou à un espace donné, selonle langage de la géométrie ancienne. II présente aussi à-peu-près le mêmenombre de cas , savoir 14 pour le premier livre, et 60 pour le second.Halley l'a restitué, mais avec plus de brièveté, d’apiè* les simples indica-tions de Pappus.

h. III.

Le livre de Sectione determinata est encore un de ces livres qu’il faut re-garder comme des élémens d’analyse ancienne. Le problème qn’on y analysoit,peut pour plus.de distinction , être partagé en ces trois cas. ( Voy .fig. 69, 70, 71. )

i°. Une ligne droite étant donnée, et deux points A, B, pris sur elle , entrouver sur la même ligne un trentième P, rel que P A 3 soit à P L 3 , ou P AX une donnée R à P B 3 , ou P A 3 à P B X une donnée R, en raison don-née de M à N.

2". Sur une droite étant donnés trois points A, B, C, en trouver un qua-trième P, tel que P A 1 soit à PB X PC, ou PB 3 à PA X PC , ou P A x