DU QUATRIÈME LIVRE, r&j
P B à P C par une donnée R, en raison donnée, quelle que soit la positionde P hors ou entre les points A, B, C.
3®. Ayant sur une droite les points A, B, C, D, eíi déterminer un cin-quième P, tel que l’on ait P A X P B àPC X PO, ou PA X PC àPB XP D, en raison donnée de M à N? etc. quelle que soit la position du pointP, qui peut être ou au dehors des points donnés, ou entre eux.
Or il est aisé de voir pour quiconque est un peu géomètre, combien de caspeuvent résulter de ces dispositions différentes du point P, à l’égard des pointsA et B, ou A , B , Ç, ou A, B, C, D ; et suivant la raison donnée, quipeut être ou une raison d’égalité, ou celle d’une quantité moindre á une plusgrande, ou au contraire; ce qui rend tantôt le problème possible d’une oudeux manières, tantôt impossible; et ce que dans le style, et la rigueur de lagéométrie ancienne, il étoit nécessaire de déterminer, pour que le problème fûtcensé parfaitement résolu. Aussi les deux livres d 'Apollonius , dont le premiercontient le développement des deux premiers problèmes, et le sedond celui dutroisième , présentoient-ils en total neuf problèmes, huit . maxima ou minima,5 1 lemmes & 83 théorèmes.
Nous apprenons, au reste, de Pappus , qu ’Apollonlus avoir résolu ces pro-blèmes de deux manières différentes ; l’une celle qu 'Euclide a employée dansson second livre des Elémens, et l’autre d’une manière plus tacile et plus p.-cprsà l’instruction, en employant le demi-cercle.
Snellius et Marin-Ghetald de Pagure, avoier.t entrepris de restituer à Iigéométrie cet ouvrage d ' Apsllonius -, mais ils y réussirent imparfaitement. Lesconstructions du dernier manquent même souvent d’élégance, et paroissent dé-duites du calcul algébrique. Un géomètre italien, M. Giannini, y a beaucoupmieux réussi, et a mieux saisi le sens d’ Apollonius, qu’il imite aussi en ré-solvant les mêmes problèmes linéairement et au moyen du cercle. Cet ouvragefait vraiment honneur au savoir, et à l’habileté de ce géomètre dans la méthodeancienne. C’est néanmoins M, Robert Simson qui a fait sur cet objet le tra-vail le plus complet, et probablement le plus approchant de celui Apollo-nius. II y a même ajouté un troisième livre, qui, contient des problêrnes dumême genre beaucoup plus difficile. Nous nous bornons à inviter le lecteurà consulter ses opéra posthumes donnés en 1778.
H. I V.
Il nous reste encore à faire connoître un de ces ouvrages analytiques de*anciens, et en particulier à’Apollonius-, c’est celui qui .est intitulé : De Incli-nationibus , en deux livres. Le problème général, dont il y étoit question, estcelui-ci : entre deux lignes droites ou circulaires données de position, adap-ter une ligne droite égale d une donnée, et qui passe par un point donné ,ou la rencontre, étant prolongée. Pappus observe néanmoins, qu ’Apolloniuss’est borné aux cas ou aux dispositions de lignes droites et circulaires , quirendent le problème plan. Car conçu dans sa généralité, c’est un problème ,comme il l’observe très-bien, tantôt plan, tantôt solide, et même linéaire,suivant l’expression des anciens, c’est-à-dire, exigeant, pour sa solution, l’emploid’une ligne d’un ordre supérieur aux sections coniques.
Le problème étant donc ainsi limité, se réduit à ccux-cr : i fr . Deux lignesdroites ctant données et faisant un angle (car si elles sont parallèles-, leproblème n’a aucune difficulté ) par un point donné entr’elles , mener nneligne égale à une ligne donnée ; pourvu que ce point soit dans la ligne quicoupe l’angle en deux également ; car autrement le problème seroit solide.