NOTE

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CINQUIÈME LIVRE.

N O T E. -A.

Exemples et développement de Vanalyse de DlQPHANTE .

On demande, par exemple, de diviser un carré donné en deux autres.Pour cet effet, que le carré donné soit, par exemple, 25, et un des carréscherchés ** , le second séla 25--**, ce qui doit être un nombre carré. Afinqu’il le soit nécessairement, formez, dit Diaphonie , un earré quelconque,de la racine du carré donné, augmentée ou diminuée d’un nombre de foisl’inconnue x, que vous égalerez au précédent 15— xx. Ce nombre est arbitraire,pourvu que i’equation ne renferme aucune absurdité. Supposons donc ce nombre,3, l’on bura pour la racine du carré fictif 3--3X, dont le carré 25—,sera égale à 25--**. Ainsi, dans cette équation, 25 s’évanouira des deux membres ,et il restera seulement 9.x 1 — 30* — — xx : ce qui donne, en divisant par x,ct résolvant ensuite l’équation du premier degré, 10*:= 30, * 3. Ainsi

les carrés cherchés seront 9 et 16. .

Mais en formant autrement le carré fictif,'en prenant par exemple pourracine 5 — 4*, on auroit eu l’équation 25 — ** == 25 — 400 -f- 1 6 xx, ce quisuroît donné .r — y°, dont le carré est ; or ce carré étant ôté de 25 ,il reste "9!, dont la racine est ll : ainsi voilà encore deux nombres carrésqui, joints ensemble, forment le carré 18. On auroit une foule d’autres solutions,en prenant d’autres membres pour le coéfficient, qui affecte la grandeur incon-nue dans la racine du carré fictif.

Mais si l’on vouioit un carré qui, ajouté à un nombre quelconque, 3 , parexemple, fît encore un carré; on y parviendroit ainsi: le carre cherché étantrx , l’autre seroit J-j-xx, qui devant être un carré, pourroit être égalé àcelui qui seroit formé de la racine x, moins un certain nombre de fois, 3 ;ou de x — 3 n , (n exprimant ce nombre indéterminé). On auroit donc 3 -j-.xx — x* -- 6 n x -f- 9 ri 1 , ou 3 = 11 — 6 n x -f- 9 m , ce qui donne *

9 J T n ~. Ain “ en formant n = 2 ou * = 11 , par conséquent 3 + ** sera ,

qui est en effet un vrai carré, ayant -jp pour racine : en donnant à n une autrevaleur quelconque, 3 par exemple, on auroit x — ^ j par conséquent 3-|-xvsera ■ ! y—, qui est en effet un carré ayant pour racine ou 4 L,