66 HISTOIRE

cette ovale conjuguée diminuant de plus en plus, dégénère en unpoint qui appartient également à la courbe, quoiqu’il soit invisibleanx yeux du corps, mais il n’échappe pas à ceux de l’analyse, quisait déterminer, par des règles certaines, son existence et sa po-sition. II arrive aussi quelquefois que cette ovale conjuguée esttraversée par une des branches infinies de la courbe, et dansce cas elle peut dégénérer en un point conjugué. Alors ce pointdu périmètre de la courbe lui appartient triplement. On le nommepoint conjugué adhérent.

Lgs courbes des ordres supérieurs , à commencer du troisième,jouissent encore de la propriété de pouvoir se replier sur elles-mêmes , et se couper dans un point, d’y repasser même plusieursfois suivant l’ordre dont elles sont. On en a un exemple connude l’antiquité dans le conchorde inférieure , ou plutôt la brancheinférieure de la conchoïde. Car lorsque la distance du pôle P àTaxe ( fìg. 14 ) est moindre que la ligne AB ou AC, qui danstoutes ses inclinaisons est la même suivant la description connuede cette courbe , il est visible que le point C décrira la courbeF P E C e p f, et qu’elle passera deux fois par P. Mais une courbedu troisième degré ne peut pas passer plus de deux fois par lemême point. Car la ligne droite qui passe par un pareil point oùla courbe passe deux fois , la coupe évidemment en deux points,et elle la couperoit en trois si la courbe pouvoit y passer troisfois ; et comme il est évident que l’on pourroit par ce pointmener une ligne droite coupant la courbe encore au moins unefois, il est visible que cette droite couperoit la courbe en plusde points que l’ordre dont elle est ne contient dhinités. Or e’estdàune chose impossible, comme on l’a dit plus haut. Mais uneligne du quatrième ordre peut bien passer trois fois par le mêmepoint, comme on volt dans la Jig. i5 : une du cinquième quatrefois , &c. , c’est-à-dire , toujours une fois moins d une unitéque le degré de l’équation de la courbe ; on appelle ces pointsmultiples , et on les subdivise en points doubles , triples, qua-druples , suivant que la courbe y passe deux fois , trois fois , &c.

Après les points multiples, il y en a d’autres encore dignes deconsidération, à cause de leur singularité ; aussi les nomme-t-onpoints singuliers. Tels sont les points de serpentemens , quelque-fois invisibles , à l’exception des yeux de l’analyse ; en voici l’ori-gine. Concevons une courbe comme A E {Jig. iS, n°. 1 ), qui ren-contre d’abord en B la ligne droite F G, puis vient la recouperen C , et ensuite en D, après quoi elle continue sa route en E ,s’éloignant toujours de cette droite ; une courbe du troisièmeordre est susceptible de pareil symptôme, puisque par-là uneligne droite peut ne la couper qu’en trois points. Qu’on imaginemaintenant les trois points B, C, D, se confondre , ce qui peut