74 HISTOIRE

<le dire «n mot sur la manière de donner aux équations descourbes la forme et l’arrangement les plus convenables pour enanalyser les propriétés.

Inéquation d’une courbe , pour avoir la plus grande généralitépossible , doit compremdre toutes les combinaisons de ses co-ordonnées , x ( l’abscisse ) et jy ( l’ordonnée ) , qui n’excèdentpas le degré de l’équation. Ainsi dans le second degré , parexemple, on doit y trouver y*, y ; xy , x et x* avec un termeconnu , et chacun de ces termes , savoir ceux où entre x ou y ,doit être multiplié par un coéfíicient indéterminé , qui peutêtre positif, ou négatif, ou nul ; au moyen de quoi , on auratoutes les variétés que peut éprouver l’équation , soit quant auxsignes de ses termes , soit quant aux termes qui peuvent ymanquer.

Ainsi, l'équation la plus générale du premier degré étanty y.ax-\-b-=.o , celle du second degré sera y' 1 + axy + by’ 1 -f ex 2

dx -f e = o ; celle du troisième sera y?-\-by* J-axy*-j-cxxy+ dxy + ey + sx^ q. gx* -f- hx -j- r' —o, &c., dans lesquels chaqueterme , hors le premier qui doit être toujours positif, peut êtrepositif, ou négatif, ou nul , par les valeurs indéterminées descoéfïiciens. Mais pour ordonner ces équations, l’usage est de lesarranger ainsi, relativement à la plus haute puissance del’ordonnéí ;

( ax 4" ^)y -f ( cxx -f 4* e )y + C f xì 4 ë x * 4" h x 4- r')—o ;

ou, ce qui a des avantages particuliers , de cette manière v

y* + ax ì + cx*l + fx* x

+ ^ r + dx\ y + gx* ( _

4e) -f- hx ( ,

4 - î y

où l’on volt que ax -j- b est le coéfíicient du second terme »ex* 4- dx -j- e celui du troisième , &c.

On pounoit également ordonner , si Fon vouloit, l’équationpar rapport à x et à ses puissances ; ce ne seroit que prendrey pour abscisse , et x pour l’ordonnée , en gardant la mêmeorigine S, mais en rapportant la courbe à Taxe SB, au lieude SA ( Jlg. 2 i ) ; ce qui n’a aucune difficulté.

La clef principale et presque universelle de la théorie deslignes courbes , est la transformation de leurs équations , et laconsidération de la forme qu’elles prennent par cette opération»Transformer l’équation d’une courbe , c’est transporter l’originede ses co-ordonnées dans un autre point , donner même à sonaxe une inclinaison différente de celle de l’axe primitif, changerenfin sangle de ses ordonnées avec leur axe » et trouver, d’aprèa