130 HISTOIRE

limitations et les attentions particulières qu’exige quelquefois sonemploi.

11 sera principalement question ici de la théorie générale deslignes courbes et du moyen de reconnoître toutes leurs affectionset propriétés. Les erreurs ou les méprises de quelques géomètresavoient presque conduit à prononcer que le calcul différentielétoit à cet égard un guide peu sur ; inais en pensant ainsi on seroitdansl’erreur. 11 est bien vrai, et nous l’avons dit dans l’article IX,que l’Analyse de Descartes est, à plusieurs égards, le fil le plussecourable pour conduire dans ce dédale. Mais l’analyse diffé-rentielle , étant maniée convenablement , ne laisse pas d’être• propre à y guider au moins en partie ; je dis au moins en partie,car je ne vois pas comment, par ce seul secours, on pourroittrouver les centres, les diamètres, les branches infinies. Mais lespoints doubles ou d’une multiplicité quelconque ; les points sin-guliers , comme conjugués, d’inflexion , de serpentement, derebroussement , sont vraiment du ressort de l’Ànalyse infini-tésimale ; c’est pourquoi il nous a paru indispensable d’en donnerici une idée.

» > 11 nous faut commencer par la règle de maximis et minimis.

Suivant cette règle, il faut (l’abscisse de la courbe étant ^retj' sonordonnée ) faire dy o , et la valeur qui en résulte pour x ,donne l’abscisse correspondante à la plus grande ou la moindreordonnée ; c’est là que se sont arrêtés la plupart des auteurs élé-mentaires du calcul différentiel. Mais cela ne suffit pas : car si ladifférentielle suivante, comme ddy, étoit aussi égale à zero, lepoint réputé celui d’un maximum ou d’un minimum n’en seroitpas un. Ce pourroit être un point d’inflexion dont la tangente-sécante seroit parallèle à l’axe.

Pour reconnoître un maximum ou un minimum, il faut diffé-rentier une seconde fois la valeur d 'y asm d’avoir celle de ddy,laquelle, si elle est positive, fait voir que le point donné est unpoint de minimum, car il est évident que si l’ordonnée, au-delàde ce point, devient croissante, la précédente étoit moindre. Siau contraire ddy donne une valeur négative , le point en questionsera, par une raison semblable, un point de maximum.

Mais il pourroit se faire encore, dans des courbes d’un ordresupérieur au second, que d 3 y ou la troisième différence fût ouzéro, ou négative. Que faudra t-if conclure de ces différens cas?Voici la règle générale : il n’y a de maximum ou de minimum quelorsque les seconde , quatrième, sixième &c. différence, nes’évanouissent pas ; mais si elles s’évanouissent le point en ques-tion sera un simple point d’inflexion plus ou moins composé. Jem’explique, dans une courbe du quatrième ordre, par exemple ,qui ne peut avoir de différentielle plus élevée que la quatrième ,

1