DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 109

Ainsi ce dernier membre de l’intégrale sera S. —, dont

_ ° yaa — xx

l’intégrale est a Arc sin. x. L’intégrale entière sera donc x ,

multipliant S.» c’est-à-dire x multipliant l’arc de cercle au

rayon cl , dont le sinus et x } et le second est 2.a\éua — xx— t— 2rz%en ayant égard à la constante , qui se trouve , en supposantx = o , et doit être prise positivement, d’après ce que nousavons dit vers le commencement de cet article.

Les Géomètres s’estimeroient heureux si toutes les différen-tielles étoient au moins réductibles , comme celles qu’on vientde voir, à des aires circulaires ou hyperboliques ou à des quantitéslogarithmiques ; car ils auroient du moins un moyen facile d’encalculer la valeur par approximation. Mais la nature qui ren-ferme des variétés infinies ne se laisse pas resserrer dans d’aussiétroites bornes. Tout comme enfin il y a une multitude decombes d’ordres différons , il y a aussi une multitude de dif-férentielles dont l’intégration est d’un ordre plus élevé , et l'onn’a fait jusqu’icì que quelques pas dans cette carrière immense,dont la profondeur échappera sans doute toujours à l’esprithumain.

Dans l’impossibilité où nous sommes jusqu’ici d’y pénétrerbeaucoup plus avant , on s’est borné à quelques classes de dif-férentielles qui semblent présenter moins de difficultés. Or,parmi ces différentes classes non réductibles à la quadrature dessections coniques , la première et la plus simple a paru celle desdifférentielles qui se rapportent à la rectification de l’ellipse etde l’hyperbole. C’est pour cela que quelques Géomètres les ontparticulièrement considérées, et ont assigné quelques-unes desformes qui s’y réduisent. Le Comte Jules Fagnani, célèbre Géo-mètre italien , nous paroît être le premier qui soit entré danscette carrière , en examinant la rectification de la courbe , connuepar les Géomètres sous le nom de la Lemniscate ; car il faitvoir (1) comment un arc de cette courbe qui est du quatrièmedegré étant proposé, on peut déterminer un arc d’ellipse et und’hyperbole , qui joints ensemble lui sont égaux. Ce mémoire etplusieurs autres du même Géomètre sur cette courbe remar-quable par diverses propriétés singulières , sont dignes d’être lus.

Après lui, M. Maclaurin s’est occupé du même objet dans sonTraité des Fluxions { seconde partie) , et a donné la manièrede réduire à des arcs d’ellipse et d’hyperbole conjointement unassez grand nombre de formules différentielles , telles que

(1) Giornale de’i litterati d’Italiae. tom. 34.