i6ocelles-ci

et di-

HISTOIRE

£x V* , ^ 7 — ÙL . ?

|/i ì ** l/r)/1+ « i + ïjtî 7 I + ararï 7 j/ ** -f 2 c* 1

verses autres. Mais ensuite M. d’Alembert a considérablementaugmenté ce nombre , dans ses deux mémoires sur le calculintégral , qu’on lit parmi ceux de l’acadéinie de Berlin , desannées 1746 et 1748. 11 seroit extrêmement long de les faireconnoître ; c’est pourquoi nous nous bornerons à quelques-unes

des plus simples, telles que ces deux . , dx

V & + bx -j- ex 2 xy *a "h + c* 1 *

Leur réduction à des arcs d’ellipse et d’hyperbole conjointement,a lieu , quelque soient a , b , c , savoir positives ou négatives,pourvu toutefois que les racines de l’équation a-t- bx -+- ex' 1 —osoient réelles. Au défaut des mémoires de l’académie de Berlin,on peut voir le Traité du Calcul intégral , de Bougainville.

Voici une autre formule différentielle , qui a beaucoup occupéle P. Vincent Riccati, et qui fait la matière d’un de ses plus con-sidérables opuscules (1) , ouvrage pour le remarquer en passant ,qui contient une foule de choses propres à justifier la réputationdont il jouissoit parmi les Géomètres italiens. Cette formule est

celle-ci 1 *-V 4 l +***

\ép+ ÌXX

, qui présente un grand nombre de cas, suivant

que f g , p , q sont positifs ou négatifs , et suivant leur rap-port entre eux. II fait voir que suivant ces valeurs et ceis rap-ports, l'intégrale de cette formule est, tantôt un arc d’ellipse,tantôt un d’hyperbole qu’il assigne ; quelquefois il faut un arcd’ellipse joint à un d hyperbole ; quelquefois enfin cette ellipseou cette hyperbole devient imaginaire , dans lequel cas la diffé-rentielle proposée n’a point d’intégrale.

Terminons ceci par un mot sur M. Landen , qui s’est aussibeaucoup occupé de cet objet. Ce Géomètre nous a donné dansun article de ses Mathematical Lucubrations , une suite dethéorèmes , dont voici quelques-uns. Si e , dit-il , désigne un

quart d’ellipse dont les axes sont 1 et ~\/1 , et / un quart decirconférence circulaire au rayon 1 , on aura la fluente ( ouintégrale) entière (c’est-à-dire lorsque as devient = 1 ) de

i^L=e-l/e 1 -2/; celle de -7- sera e-i-Vê*— 2 /j

celle de dx sera W— 2./, Lcc., &c. M. Landen, à

la vérité , ne démontré pas ces théorèmes 5 mais sa réputation,parmi les analystes ne doit pas laisser de doute sur leur vérité.

(1) Vincentu Riccati S. J. Opuscula ad res physicas et mathematicaspertinentia> Luccw. 1757 1772 , tom. II.

Je