DES MA THÉ AMTIQUES. Part. V. Lxv. I. 1B1

dx cdcpdy , l’équation ci-dessus devient y — px --- aV i -\-pp »qui quoique cn apparence une équation en termes íinis , n'en

est pas moins une équation différentielle, à cause de pz=.^.Or si l’on diff’érentie de nouveau cette équation , on ady r=.pdx -t- xdp -t- ; ce qui, a cause de — pâx ,

donne o — xdp -ì- “PÈL - ; e t divisant par dp , x =- 7 ^ t _

v/i + pp r r V'+p p*

Enfin , si dans l’équation ci-dessus , y = px -t- aV 1 -t- pp , on

met au lieu de px sa valeur , on trouve y — -y dL^ Or , au1 V > +PP'

moyen de ces deux valeurs de x et y , éliminant p , ce qu’onfera en les quart ant et les ajoutant, on trouvera enfin xx-hyy=zaa,ce qui est l’équation au cercle. Le cercle est la courbe cherchée,ce qu’au surplus on auroit pu voir facilement. Mais il y a uneautre solution , savoir la ligne droite menée de manière à ce quela perpendiculaire tirée sur elle du point donné, soit de lagrandeur donnée , ou pour mieux dire , il y en a une infinitéqui satisfont également au problème. Elles sont contenues , au

surplus , dans l’équation. différentielle xdp •+■ = o ; car

elle donne dp = o j d’où il suit que p = à une constante quel-conque n. Or la courbe dans laquelle le rapport ~ est cons-tant , est une ligne droite ; et à cause de l’indéterminée n , uneinfinité de lignes droites y satisfera.

H étoit encore possible dans l’équation proposée ci-dessus,d’employer l’intégration ordinaire ; mais si , au lieu de cette

différentielle, on eût eu celle-ci : y dcc -f- xdyz=ca\^da : 3 -+- dy^ }OU plusieurs autres que se propose Euler , ou auxquelles il estconduit par des problèmes géométriques qu’il se propose, il n’ya nul doute qu’il seroit impraticable*de s’en démêler, tandis quesa méthode y conduit et fournit des solutions complettes.

Le paradoxe qu’on vient d’exposer avoit été observé , commeon la dit ; mais indépendamment de ce qu'Euler en donne undéveloppement lumineux , il en remarque un autre, savoircelui-ci. II consiste en ce qu il y a des équations différentiellesdont on peut trouver une solution qui, cependant, n’est pascontenue dans la solution générale. Qu’on ait , par exemple ,

cette équation différentielle xdx ydy = dy]/xx-\r yy —-& a *il est aisé de voir que la supposition de xx -t- yy = aa résoutcette équation en la faisant toute évanouir ; et comme