182 HISTOIRE

xx ’+~yy — aa~=- o est une équation au cercle, il s’ensuit quetout problème conduisant à l’équation précédente, aura au moinsune solution au moyen du cercle. Or l’intégrale générale et com-

plette de l'équation dont il s’agit est "Y xx-+-yy — aa=zy c,dont par aucun moyen on ne tirera yy •+- xx — aa = o. Celaparoît à Euler vraiment paradoxal. Nous remarquerons néan-moins que ce paradoxe s’est depuis évanoui. L’on a fait voirpourquoi et comment ces solutions particulières ne sont pascontenues dans la solution générale , quoique complette. Maisceci tient à la théorie générale des intégrales complettes, dontnous tâcherons de donner une idée. Nous croyons devoir ter-miner ici cet article, pour passer à celui des différentielles desordres supérieures.

XVIII.

Si l’intégration des simples équations du premier degré adeqx ou trois variables présente les difficultés dont on a puprendre une idée par les détails précédens , il est facile de s’enformer une de celles que doit présenter l’intégration des équationsdifférentielles du second ordre et des ordres supérieurs. Car onpeut avoir une équation différentielle telle que celle-ci ; Adx*-f B dxdy -+- C dy* -t- Eddy = o , ou Ad } y Edxddy ± Cdx ìzt Edy* -t- F dydx' 1 -+- Gdyddy , &c. — o , et autres plus ou moinscomposées suivant les valeurs attribuées à A ; B ; C ; &c. qu’onsuppose des fonctions de x , ou de x et y et de constantes.Entreprendre de faire l’énumération de toutes les formes dusecond degré seulement , seroit une entreprise égale à celle decompter les coquillages qui couvrent les bords de la mer. Il s’agitde réduire l'équation du second ordre au premier, celle dutroisième au second, et ensuite au premier , pour passer delàaux quantités finies. II est même à observer que toute équationdu second ordre n’est pas toujours possible , ni même touteéquation du premier ordre à trois variables. Ainsi les géomètresont été obligés de se borner à un petit nombre de cas , et à dé-terminer quelles sont les conditions qui rendent ces formulessusceptibles d’être réduites à un degré inférieur. Nous allonstoutefois , malgré l’aridité de ces détails , donner une idée destravaux des analystes sur ce sujet.

II est à propos d’observer ici, et peut-être aurois-je dû le faireplutôt, que dans toute équation différentielle , il faut que les dif-férentielles ou leurs produits soient dans chaque terme du mêmedegré de dimension. Je m'explique : dx étant du premier degrédx z et ddx sont du second, dx>, d'x sont du troisième ; ainsidx 1 1 dxdy et ddy , sont homogènes , comme le sont entr’eux