DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lxv. I. ai3

Ainsi prenant pour exemple la suite des nombres pyramidauxi , 4 , io , 2.0 , 35 , 5'6 , &c. , si l’on demandoit la somme deses mille premiers termes, on auroit ^ = 1000. A — 3 , ladeuxième différence B”i, la troisième = o. Ainsi la valeur

cherchée est A—B-t-o. = 1000 -h 499500 = 5oo5oo.

Encore un exemple , que nous prendrons dans la quatrièmebande du triangle arithmétique (avant dernier) i5,3y, 72, 12.3, & c.et qu’on demande la somme des cent premiers termes , onaura <2= i5 ,p = 100, A —22; B —i 3 ;L —3 ;D=o. Ainsi lasérie ci-dessus sera i5oo +’^22+^ s i3+^^ ,7 3+o. =13967025.

En lin l’on peut conclurre delà que toutes les Fois qu’on auraune suite de nombres , dont les différences prises successivementdu premier au second ; du second au troisième , &c. et cellesde celles-ci étant prises semblablement, &c. aboutiront enfinà une différence nulle , on pourra, par un calcul fort simple,en sommer tant de termes que l’on voudra par la formule ci-dessus. M. de Montmort en donne la démonstration , p. 65de sa seconde édition.

Ces choses, il faut en convenir, ne furent pas inconnuesaux deux frères Bernoulli , comme on le voit par la correspon-dance de Montmort avec Jean Bernoulli et son neveu Nicolas,correspondance curieuse et le modèle de celle qui devroit régnerentre les gens de lettres. Mais ni le livre de Arte conjectandi ,de Jacques Bernoulli , n’avoit encore vu le jour , ni diversautres ouvrages qui parurent bientôt après , et qui ont servi àétendre extrêmement cette théorie. M. de Montmort amplifiaìui-même considérablement ce qu’il avoit déjà trouvé sur cela ,dans un long mémoire sur les séries, qu’il donna à la sociétéroyale Eondres , en ìyití , et qui est imprimé dans son nu-méro 353 , avec quelques additions de Taylor lui-même. II yest non-seulement question de suites croissantes selon une cer-taine loi dont on demande la sommation jusqu’à un certainterme , mais encore de progressions décroissantes , dont il s’agitde trouver la somme entière , si cela se peut, ou jusqu’à uncertain terme donné. On y voit les moyens de sommer ainsides suites beaucoup plus compliquées, comme celles dans les-quelles chaque terme est le produit de facteurs en nombredonné , qui vont en croissant arithmétiquement , et où chaque• premier facteur dans chaque terme subséquent croît aussi arith-métiquement par la même différence. Telle seroit celle - ci ,°ù pour éviter la complication , nous supposerons seulement

c haqu e terme de quatre facteurs , a. a-\-n. a-+-in. a-^- 'òn~t~ a ~*-n.a-+-2n.a'+-ón.a'+-4 n -*~a-\-2n. a-f-á/z. a-\rôn. &ç.