ai4 HISTOIRE

qui, en nommant pour exemple <2=1 e t -2 — 2 , servit1. 3. 5. 7 -t- 3. 5. 7. 9 -h 5. 7. 9. n. &c.

Telle est encore cette autre série, com posée de fractions dont lesnumérateurs A , B , C , D , &c. croîtroient suivant une cer-taine loi, et dont les dénominateurs seroient formés de facteurs

comme dessus ,+

B

<r -ì--r. s -j- r/r. a-f-n. a^czn. «r -j- z/r. a-y^n

--- =====, Scc, ce qui, suivant les valeurs qu’on

a 2/2. a -J- 3/2. a 4/r. a % n. •*

donneroit à A , B , C , Soc. à a et n , íourniroit diverses séries.Par exemple , que a et n restant connue dessus, A , B, C, &c.soyent les nombres triangulaires , &c. , on auroit.

_L_ 4. _? 1 i -!_Í2_ àc

MS-7. 1 3-S-7-9 * S-7;9" * 7 y i-.ij

On pourroit même composer les numérateurs comme les dé-nominateurs, et donner à ía série cette forme, en faisant m et r

des nombres quelconques

t î m -ì~2r. m -f" jr. m +• 4 ra^zn, a^r^n. a-i-5/z

1 -ì» r. m -i- 2 r. Sec.

1 +-r •+• m-\-zr m-\- 3 r &c.

f. a-\~n. a~^2n, a-^^n a-^-n. <2+2/2. a- f-$/2. s+4/r

&c. d’où naîtroit, en faisant m ■= 2 et

r=i , cette progression ^ -h -j- -i£L &c. M. de Montmortdonne les fermules sommatrices de ces progressions, ainsi quede quelques autres plus compliquées encore.

II paroît cependant que M. de Montmort a été du moins àportée de faire ici quelque usage des lumières jettées sur cetobjet par Tailor, dans son livre intitulé : Methodus incremen-torum , publié dès 1716, et il ne disconvient pas de l’avoirconnu , en disant que ce qu’il vient de donner est une parti-cule de la méthode des incrémens du géomètre anglois. Maisil est clair que sa méthode propre le conduisoit au même but.

Ce seroit ici le vrai lieu de parler des découvertes de Tailorsur cette matière. Elles sont consignées dans son livre intitulé :Methodus increnientorum. directa et inversa (Lond. 1716, in- 4°0-Cet ouvrage a eu , en quelque sorte , un commentateur dansM. Nicole , qui a développé cette méthode et son applicationà la sommation de séries qui , par leur complication , parois-soient devoir échapper à tous les efforts des analystes. Maiscomme nous destinons un article particulier à développer cettethéorie des incrémens ou des différences íinies , le lecteurpermettra que nous y renvoyions.

XXL

Nous ayons maintenant à parler d’un genre de séries qui joueun rôle considérable dans les mathématiques. 11 sagit des sériesnommées Récurrentes , dont la théorie est due à M. de Moivre-