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remarquer en passant, assez singulière et de laquelle il résulteque ces deux séries i •+• y -t- i 5 -4- 4q 81 &c. et 4 -+- 16 -t- 36-i- 64 -+■ 100 &Q* à l’iníini sont égales entr’elles. Remarquonsencore qu’on trouve le inêrne résultat pour la somme de la sériedes quarrés-quarrés 1 — 16 -j- 8r — 266 & c. Mais si nous cher-chons par la même voie la valeur de la série des nomhrestriangulaires 1 — 3 -t- 6 — 10 -f- i 5 — 21-4- &c. , nous latrouverons égale a j; celle de la série 1 — 2 -j- 3 —4 + 5 — 6&c.— on voit aussi reparoître ici l’expression paradoxale deLeibniiz, savoir 1— ì-t-i — ì-t-i — 1 &c. à l’iníini = +Car on a alors suiyant cette méthode la somme de cette série

= a. Or a=L\.,x =-*-1- d’où suit —a — - ——--

i—x ’ 1—1 i+i—»

Considérons enfin quelques séries décroissantes et formées determes alternativement positifs et négatifs. Telle est celle-ci1—f-+-7 — 7 -t- j &c. qui représente le log. hyp. de 2. Enprenant les différences successives et avec l’attention suffisanteaux signes on a a = i ; a a = — i ; A'azx.-*- j; A 3 a = — ~ êcc.d’où résulte, en faisant x —— 1, la série f+7 4 + ï l , + 4 + 6 -•+ 77+ &c. qui elle-même se prolonge infiniment, mais quiconverge avec beaucoup plus de rapidité, ensorte que ce quiexigeroit dans la première le calcul actuel de 10000 termes enexigeroit ici à peine 2 5 , car le 25 e . terme de cette progressionseroit y. \.. ou —r ou 0.0000000002; c’est même-là engénéral 1 avantage de cette transformation ; savoir que si elle nedonne pas une série finie , elle conduit au moins à une sériebeaucoup plus convergente j on en a aussi un exemple dans lafameuse série qui exprime le rapport du cercle au quarré dudiamètre, 1—77 — ; car traitée de cette manière

elle conduit à cette série beaucoup plus traitable , 2 x (7 -i- à-*--37^7 -t- &c.) cette série n’est cependant pas, à beaucoup

près, aussi convergente que la précédente qui exprime le log.de 2. Mais il y a encore des moyens de hâter cette convergenceet nous les ferons connoître.

On a remarqué plus d’une fois en parlant des séries qu’il yen a deux classes, l’une de celles composées de termes qui vontsans cesse en diminuant et que par cette raison on appelleconvergentes, parce qu’efles approchent de plus en plus de leurvraie valeur j L'autre est de celles dont les termes vont sans cesseen croissant et que l'on nomme par une raison contraire di-vergentes. On peut même diviser la première classe en deuxespeces. la première est celle où tous les termes sont positifs etla seconde est celle où ils sont alternativement positifs et négatifs.Dans le premier ças on peut bien dire que la série a une sommetAi'HÔE finie, tantôt infinie, selon la loi qui règne entre les termes.