DES MATHÉMATIQUE! Part. V. Liv. I. ft 3 iElle est finie dans les séries en progression géométrique, commei -fr- -•■+-•£ -t- -j à. et dans les séries récurrentes, comme eelle-éii H— |—fr- i -i— 1 -fr- f -fr- fi -t- ff &c.; elle est infinie dans quelquesautres, comme les séries harmoniques 1 -t-Z_ f .Z-4_z_ + _Z- + .Z. &C.Mais cette somme est toujours et nécessairement finie lorsqueles termes décroissans sont alternativement positifs et négatifs,comme dans celle-ci 1 — t - * - ! — Ì“ t_ T à. quoùpfil soitsouvent plus que difficile de déterminer cette somme.

Mais que doit-on penser d une série divergente; il est d’abordévident que lorsque tous les termes sont positifs, comme danscelles-ci i -t- 2 -t- d &c. ì 3 6 -t- io &c., la somme est né-

cessairement infinie. Lors néanmoins que les termes sont alter-nativement positifs et négatifs , il n’en est pas ainsi , et lesgéomètres ont été partagés. On connoit le paradoxe de Leibnitzqui trouvoit que i — I-+-J — i -fr- i — ì &c. à l’inïini étoit —Cette série est en effet le résultat de la division de ì par ì -fr- iou de ì par 2 ; ce qui est f. II en est de même de cette sérieX — 2-1-4 — B &c. qui est le quotient prolongé à l’infiní de1 divisé par 1 -fr- 2 ou 1 par 3 : on peut donc dire, au moins enun sens que la somme de 1 — 2 -fr- 4 — 8 &c. est = j.

Tous Jes analystes cependant ne conviennent point de ceparadoxe, et ils répondent que quelque prolongée, par exemple *que soit la seconde de ces séries, elle n est jamais arrivée et nepeut arriver à son dernier terme ; et qu’après un terme quel-conque, si éloigné qu’il soit du commencement, on a toujours-un terme fractionnaire qui fait le complément de la série. Ainsiaprès avoir trouvé le dixième terme de la série ci dessus, quiest— 5i2, on a la fraction suivante -t-f^-fou tZAl—341 z -. orajoutant ensemble les 10 premiers termes de la série en question,on a — 341, à quoi ajoutant le supplément ci-dessus, il enrésulte j = 7+7 , ce qui est identique. II en sera de mêine àquelque terme qu’on s’arrête. Ainsi, disent ces analystes, lasomme de cette série n’est pas , elle s’en écarte an contraire-de plus en plus et sans ce supplément indiqué ci-dessus l’ex-pression manquerait tout-à fait de justesse.

Mais il ne manque pas de raisons à opposer â celle qn r on vientde voir; comme cependant elles seraient longues à disèuter, jepréfère d’imiter M. Euler qui, pour éviter de prendre; un parti,( ce qui est d’ailîeurs superflu, car de quelque manière qu T onl’entende il n’ya nul danger pour les conséquences) je préfère,dis-je , d’imiter M. Euler qui, quand il s’agit de somme de sériedivergente, n’entend par somme que la valèur de ^expressiondont elle est le développement : or cette valeur peut être unequantité . finie. Ainsi il trouve a prìorì que 1 — 1 -fr- 1 —est-j-ou j-t- ì — 2-f-3 — 4 + 5 — 6&c.=Z; 1 —4 + 9 — i6&c,=Ov% — 3 9 — 27 8 f &c. = z — _z_.