DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 207

Si sur une ligue droite infiniment prolongée et divisée enparties égales , réputées l'unité , on élève à chaque point dedivision des perpendiculaires égales aux termes de la série pro-posée et que de chaque sommet de ces perpendiculaires on mènedes parallèles à Taxe, terminées chacune à la prolongation dela suivante, on aura autant de rectangles qui représenteront lestermes de la série. Qu’on fasse ensuite ou qu'on conçoive unecourbe passant par les sommets de ces perpendiculaires, il enrésultera une courbe ayant son axe pour asymptote, puisqueces termes décroissent jusqu'à devenir moindres que toute quan-tité donnée, D’un autre côté il est aisé de voir que l’aire de cettecourbe est moindre que la somme de tous ces rectangles, de laquantité de tous les petits triangles mixtilignes qui se trouventau-dessus de la courbe et dont la somme est quelque peu plusgrande que la moitié du premier terme. Car si au lieu de cestriangles on prenoit les petits rectangles dont ils sont les moitiés ,il en résulteroit une somme égale à ce premier terme.

Si.dpnc Paire iníiniment prolongée de cette courbe ést infinie ,on en devra dire autant de la somme de la série, proposée , et aucontraire. Mais on le reconnoîtra aisément; car si, faisant passerpar un des sommets de ces perpendiculaires une hyperboleordinaire, ayant la même asymptote, la courbe ci-dessus décritepasse entre Phyperbole et cette asymptote, Paire de cette courbesera finie, et conséquemment aussi la somme de la série. Laraison en est que Phyperbole ordinaire est la limite entre toutesles hyperboles des. degrés supérieurs, en ce qui concerne P infinitéou non-infinité des aires comprises entre les branches de ceshyperboles et leurs asymptotes. Toutes celles qui passent entrePhyperbole ordinaire et son asymptote, ont des aires finies dece côté, et toutes celles qui passent au de là ont des aires infinies-C’est pourquoi si une série ayant avec celle-ci i+A-t-j+i &c.un ou deux termes communs, a ensuite tous les autres moindresque leurs correspondans dans cette série > sa somme entenduedans le sens ordinaire sera finie ou aura une limite. Ainsi, pouren donner un exemple, soit cette série 14- 4 -^ 4 -^ ôzc»?

dont les deux premiers termes sont communs avec les deuxpremiers de la série hyperbolique 1 4- ± 4 - y + ;&c. ; commeensuite ^ est moindre que f, et à moindre que ^ et ainsi desuite, la sérié proposée aura úne somme finie; elle est en effetégale à 2, ■ :

Mais on pourra d’áprès ce principe trouver encore avec plusde facilité si la somme d’uiie série est finie ou infinie en em-ployant le m 6 yen suiváht. II n’y aura qu’à prendre trois terme»équidìstans de cette'série; et si le premier est ab dernier dans nnrapport plus grand que celui de la différence du premier au