246 HISTOIRE

toire idéale de ce calcul, il faut revenir à M. Taylor, ou à ceux

qui ont en quelque sorte commenté ses idées.

M. Taylor venoit à peine de publier son livre, qu’un exem-plaire étant tombé entre les mains de M. Nicole , il le lut, l’étu-dia, et s’attacha à éclaircir et étendre cette théorie. Ses premiersessais en ce genre sont consignés dans un mémoire inséré parmiceux de l’Académie en 1717 , et qui tut suivi de deux autres en1720 et 1724- Là M. Nicole explique d’une manière extrême-ment claire les principes et les applications de ce calcul desdifférences , à la vérité bien moins généralement que ne le faitM. Taylor : car M. Nicole ne passe pas au-delà des premièresdifférences , tandis que M. Taylor en embrasse les différendsordres.

C’est principalement dans la sommation des séries que con-siste l’usage du calcul dont nous parlons ici. Car tout commed’une différentielle Leibnitienne , on remonte par le calcul in-tégral à la quantité dont elle est la différence infiniment petite ,de même d’une différence íinie on remonte par un calcul , qu’onpourroit nommer intégralJini , à la quantité dont cette différenceexprime l’accroissement fini. II est nécessaire ici d entre r dansdes détails ; ce que nous allons faire en suivant de près M. Ni-cole , dont le procédé est de la clarté la plus lumineuse.

Si l’on suppose la quantité variable x augmenter par des ac-croissemens finis et égaux que nous nommerons n , elle devien-dra successivement x ; x -+- n ; x -b- “xn , &c. Soit donc mainte-nant une quantité X — x x x n dont on veuille connoître ladifférence finie; il est évident qn’elle sera ce que devient x. x-{-n,lorsque cette expression devient x -+- n x x -t- an , et en dé-duisant la quantité x. x n ; ce qui donne, toutes réductions

faites, 2 n x x 4- n. De même si l’on a la quantité x. x-\-n. x-\~an,et qu’on veuille connoître son incrément lorsqu’elle devient

x-k-n. x-\- an. x-+- án , on trouvera 3 n x xn. x - 4 - an ; d oul’on voit d’abord naître une règle qui abrège cette opération ,savoir de supprimer le premier facteur , comme ici x ou laquantité croissante , multiplier l’incrérnent n par le nombre desfacteurs de la quantité à différentiel- , et enfin supprimer leplus élevé des facteurs.

Da manière de revenir de la quantité différenciée à l’intégraled’où elle provient, est évidemment l’inverse , et l’on voit qu’ilfaut pour cela , puisqu’on a-rejet té le premier des facteurs dans ladifférenciation , le reprendre dans l’intégration , ou celui qui pré-cède le premier de ceux de la quantité proposée comme différencefinie à intégrer , et diviser par l’inGtément constant a multiplié