DES MATHÉMATIQUES, Part, V. Lxv. I. z/tfpar le nombre des facteurs. Ainsi la différence linie 3ra. x-\-n, x^znaura pour intégrale x. x-+- n. x+^-^n , e t par conséquent celle-ci

x-\-n. x-^-zn suroît celle-ci-et celle-ci x. x-i-it

auroit celle-ci + , &c. ; car le facteur qui précède x

doit être x — ra , puisque croissant de ra, il devient x.

On pourroit retrouver ces différences d’une autre manière jcar il est facile de voir que la différence de xx , par exemple,est x 1 4 - znx -h rara — x* } c’est-à-dire 2 raa? -î- rara ; celle de x 3 est3nx 1 -\-3n*x-\--n? ; celle de x A est fax' 1 •+• Gifx* -h ^n?x ■+■ ra 4 j

celle de x m , enfin,est mnx m ~'~ i- — n*x m ~ % -+- — — ~ n } x mTÌ &c,

où il est aisé de voir que les coéííiciens numériques sont lesmêmes que ceux du deuxième , troisième, quatrième, ôcc.termes du binôme de Neutorr.

Si donc on a une quantité telle que x. x-hn. x-'r-zn à dif-férencier , on peut multiplier ces trois quantités , et leur pro-duit sera x } -i- 3 nxx znnx ; or la différence finie de x 3 est3raa7 2 -f- 3nnx-+* ra 3 j celle de 3 ti.xx est 3raX znx-h n*—(3rirx-\~ 3ra 3 jcelle de z rara.m est z n? , car l’incrément de x est supposé ra. Enfin ,ajoutant toutes ces parties, on trouvera par leur somme, quiest la différence cherchée , après toutes réductions faites ,

3ra x x* q- 3 nx -+- zn* ou 3ra. x ■+■ n. x -+- zn , comme dessus. Ilest aisé de voir que cette manière de trouver les différencesfinies a l’avantage de ne pas exiger que la quantité à diffé-rencier soit composée de facteurs arithmétiqueinent croissans.Ainsi la différence de x } -b- nx*- 1- nx -}- ra 3 , qui n’est pas forméede pareils facteurs, se trouveroit 3nx* ■+■ 3n*x-j-4^ 3 > mais onne 1 intégreroit pas par les moyens précédens , quoiqu’on ypuisse parvenir par d’autres.

II est encore nécessaire , pour les vues qu’on verra plus bas,de déterminer la manière dont croissent des grandeurs dont lavariable x se trouve dans le dénominateur d’une fraction , par

exemple celles-ci —=L= , — - 1 — = , &c. Quant à la première,

A x. 1 x» zn â- '

il est aisé de voir qu’elle est —3—- — 1 _ — ; ( car ici la

x x, x-\-n x-\-n. x-\-zn s

première de ces quantités est la plus grande ) ; ce qui, calculfait, se trouve — --■■■ - . L’incrément ou la différence de la

x. x -f- n. x -j- m

seconde se trouve de même être — *” , d’où naît

x • x~\-n, x -f- lu, x-\~in

une règle pareille à la précédente , savoir de multiplier ra parle nombre des facteurs de la fraction à différencier, et de lui