DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 267

aa xx* , AA-b-vy 2 , où conséquemment a et a; sont commeA et y , ces deux fonctions seront entr’elles comme a 4 à A 4 ,Ce qui est presque évident ; car des composés semblables , soitsuperficiels, soit solides, soit hyper-solides , de quantités pro-portionnelles , sont comme les côtés homologues de ces com-posés élevés au degré de leurs dimensions ; delà suit une pro-priété curieuse et utilement employée par Jean Bernoulli danssa solution du problème des tautochrones dans un milieu ré-sistant , savoir :

2 0 . Que des fonctions semblables de dimension nulle sontégales entr’eíles , quelle que soit leur composition. Cela se déduitaisément du théorème précédent, car a° = A°, ou x°-=xy°,toutes ces expressions se réduisant à l’unité.

Lorsqu’on a une fonction donnée et explicite, elle est facileà différencier. Les règles communes du calcul différentiel en-seignent à trouver la différentielle de toute expression compo-sée de variables et de constantes. Mais si la fonction est in-déterminée , et qu’on sache seulement qu’il y entre une va-riable telle que x , comment exprimerons-nous sa différentielle ?

N’y ayant dans cette fonction que x de variable, il est clairque cette différentielle sera dx , multipliée par une autre fonc-tion de x} et comme elle est indéterminée, puisque la pre-mière Test elle-même , il est évident qu’on ne peut la désignerque par dx , multipliée par une nouvelle fonction de x , qu’ilfaudra désigner par un signe différent. Ainsi la première étantpar supposition F : x , il faudra désigner la seconde par F': x,ou <px, comme on voudra ; car cela est arbitraire, pourvu queles mêmes signes désignent toujours les mêmes choses. Ainsila différentielle de F : x sera di rF': x, ou dxqx, et aussitôtque la première sera expliquée, dx F f :x ou dx <P : x le seraaussi, et vice versâ , du moins autant que le permettent lesbornes du calcul intégral ; car si F': x devient connu, dxF'xest évidemment une expression qui , si elle est intégrable ,donne Fx.

Si la fonction est de deux variables , les mêmes principesfont voir que dF(x,y) est dx F' ( x : y ) -+-ú£yF" ( x ,y ) ,en faisant varier successivement x et y , et ainsi si la fonctionest formée de plus de deux variables.

Pour en donner un exemple, soit F (x) =ax — xx. Faisantvarier x , on aura adx — 2 xdx \ ainsi la fonction F' (or) sera

a — 2.x, et dxF f (x) sera dx x a — 2.x. Si donc ne connois-sant pas F (x) on parvenoit à connoître F' {x ), savoir a zx,on auroit dès-lors adx — axdx, dont l’intégrale est ax — xx — c.Ainsi P ( x ) seroit ax — xx dt c.

Lia