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268 HISTOIRE

De même pour les fonctions de deux ou plus de variables,que la fonction F (xiy) fût ay — oc y xx ; sa différentielle ,en faisant varier x et ensuite j/,seroit dxB 1 [x : y) -H dy~E "(m : y) TokF'{x:y) est a — x, et F lf ( x : y ) est a — x-\-2x. Lorsdonc qu’on parviendra à connoître ces deux fonctions , onaura en intégrant, si la chose est possible, la fonction désignéepar F (x:y ).

L’emploi fréquent qu’on fait dans l’Analyse transcendante deces fonctions , sous une tonne indéterminée , nous nécessite kfaire connoître un théorème utile sur cette manière. Qn’on aitcette équation a — x -+-<?>. 2 ? = o , où yx est une fonction quel-conque de 27, et qu’on ait en même-temps une autre fonctionde x, comme ^x , il s’agit de trouver la valeur de -yx expriméeen a. U est bien vrai qu’a u moyen dune élimination plus oumoins laborieuse, on y parviendroit peut-être, si la fonctionn’étoit pas fort compliquée ; car ayant a — x -t- qx = o , onpourroit, à la rigueur, en tirer la valeur de x exprimée en a ;et cette valeur substituée dans la fonction , au lieu de x tdonneroit en a la valeur -yx ; mais cette élimination sera leplus souvent, ou extrêmement laborieuse, ou même impossible,comme si $x étoit une fonction un peu compliquée ou d’undegré supérieur, ou même transcendante, telle qu’une quan-tité circulaire ou logarithmique. 11 a fallu s’ouvrir une nouvelle-voie pour trouver au moins une valeur approchée de wx. Onen a l’obligation au cit. Lagrange ; il a fait voir (1) que dansee cas de. l’équation a — x - ì - $x = o , et en nommant

d^x

:^ r x, on aura ^x=z'^'x-\-'^ r, x (ím-f

dd)X

dd<!)X

dx , - 1 V ' 1 dx ' l.^.dx* 1

dans laquelle équation , après avoir fait les différenciations in-diquées , il faudra , au lieu de x , mettre a. Nous voudrionspouvoir donner ici des exemples de l’usage de cette formule,ils justiíieroient son importance ; mais ils nous entraîneroientdans des détails que ne comporte pas la nature de cet ouvrage.II nous suffira donc de dire que le cit. Lagrange en tait unusage remarquable dans les Mémoires de Berlin , cités ci dessus ,en s’en servant, tant pour la résolution des équations littérales,que pour celle du fameux problème de Kepler.

On a dit au commencement de cet article que la théoriedes fonctions algébriques avoit été entre les mains du citoyenLagrange un moyra d’envisager sous un nouvel aspect les plusintéressants problèmes de l’Analyse, de la Géométrie et mêmede la Mécanique , et de donner aux principes des calculs dif-férentiel et intégral une solidité nouvelle et indépendante dtz

(1) Minix de Berlin , ann. 1768 et 1769.