286 HISTOIRE

II y auroit sans doute ici quelques éclaircissemens à donnersur ce que peut signifier le rapport des logarithmes de -t- 1 etde — 1 , puisque le logarithme de r = o , et conséquemmentcelui de —1 est aussi =o. On les pourroit tirer de la théoriedes logarithmes de Euler , suivant laquelle à chaque nombrepositif appartient un seul logarithme rationnel et une infinitéd’imaginaires ; et à chaque nombre négatif des imaginaires seu-lement. Mais tout ce que nous venons de dire sur ces expres-sions du rapport de la circonférence au diamètre , n’étantqu’une spéculation de pure curiosité , il seroit superflu d'endire rien de plus. Il nous faut maintenant montrer commentcette introduction des imaginaires dans le calcul a étendu lealimites de l'analyse.

Reprenons à cet effet l’expression de Tare circulaire ; quecet arc soit nommé z, son sinus x et le rayon ì , on aura ,

comme l'on sait, rf.v, -—— - Multiplions le numérateur et

j/i —**• r

le dénominateur par V— i , ce qui ne change rien à l’égalité,on aura dz = x X'~ - . dont l’intégrale est, comme on sait

y xx — i J _ °

aussi, 2 = V^~i log. x -t- y xx — ì. Ainsi £7= , qu! est égal

à — z y — i = log. x -+- y xx — ì. Enfin , pour passer deslogarithmes aux quantités ordinaires , multiplions le premiermembre de l’équation par log. e ( e étant le nombre dont le

logarithme hyperbolique est 1 unité ), on aura — zy —i log. c

= log. x -h y xx — x j et passant des logarithmes aux nombres

des problèmes de géométrie et d’analysetranscendances. 11 y a aussi dans lesActes de Léipsik plusieurs morceauxde lui. Ces différentes pièces , ainsi quediverses autres restées dans ses porte-feuilles , ont été publiées par lui-même,sous ce titre : Produzzioni mathema-nafiche , del conte Giulio - Carlo diFagnano , marchese de* Toschi è diSant-Hcnorio , ëtc. ( Pesaro , 1750 ,in- 4 0 . 2 vol. ). II seroit long d’en dé-tailler les différons objets. On y trouveentr’aurres dans le premier volume , uneThéorie générale des proportions géo-métriques , qu’on pourra peut-êtretrouver un peu volumineuse ; dans lesecond , un Traité des diverses pro-priétés des triangles rectilignes , quien contient en etlct lin grand nombre

de curieuses et de remarquables. Parmiles autres pièces de ce second volume,on en distingue plusieurs relatives auxpropriétés et à quelques usages de lacourbe appellée îa lemniscate ; aussien a-t-il fait graver la figure dans lefrontispice de son livre. La date de samort ne nous est pas connue. II a laisséun fils t Jean - François de Toschi èFagnano , archidiacre de Sinigaglia yhabile géomètre et marchant sur lestraces de son père. On a de lui diversmémoires intéressans de géométrie etd’analyse , dans les Journaux de Léipsik,des années 1774, >77; et 1776, etpeut-être des années antérieures et pos-térieures. Nous ne pouvons dire s’il vitencore,.